Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:
$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$
$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$
Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.
Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.
Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.
Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.
Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.
Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.
Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:
$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$
Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.
$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$
Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.
$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$
$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.
Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.
Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.
Przez 2, 5 i 10 sprawdzamy ostatnią cyfrę, przez 3 i 9 — sumę cyfr, przez 4 — liczbę z dwóch ostatnich cyfr.
Przykład: $738$: suma cyfr $7+3+8=18$, więc $738$ dzieli się przez 3 i przez 9.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Czy liczba $1\,476$ dzieli się przez $9$?
Sprawdź, przez które z liczb $2$, $3$, $5$, $9$, $10$ dzieli się liczba $2\,340$.
Która z liczb dzieli się przez $4$?
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $60$ i $84$.
Korzystając z rozkładów z poprzedniego zadania, oblicz $\mathrm{NWD}(60,84)$ oraz $\mathrm{NWW}(60,84)$.
Która liczba jest pierwsza?
Ania ma $24$ cukierki, a Bartek $36$. Chcą je rozdzielić na jednakowe paczki tak, by paczek było jak najmniej, a cukierki się nie mieszały. Ile cukierków będzie w paczce?
Jeden autobus odjeżdża co $12$ minut, drugi co $18$ minut. Odjechały razem o godzinie $8:00$. O której odjadą znowu jednocześnie?
Liczba dzieli się przez $6$ wtedy, gdy:
Ile dzielników ma liczba $12$? Wypisz je wszystkie.
Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od $30$.
Jeśli $\mathrm{NWD}(a,b)=1$, to liczby $a$ i $b$ nazywamy:
Zastąp gwiazdkę cyfrą tak, aby liczba $23{*}$ dzieliła się przez $3$. Podaj wszystkie możliwości.
Oblicz $\mathrm{NWD}(18,24,30)$.
Prostokątną podłogę o wymiarach $180$ cm na $240$ cm chcemy wyłożyć jednakowymi kwadratowymi płytkami bez docinania. Jaki największy bok może mieć płytka i ile ich potrzeba?
Ile wynosi $\mathrm{NWW}(4,6)$?
Uzasadnij, że liczba $2\,345$ nie dzieli się przez $9$, choć dzieli się przez $5$.
Liczba ma rozkład $2^3\cdot3\cdot5$. Oblicz tę liczbę i sprawdź, przez które z liczb $2,3,4,5,6,9,10$ się dzieli.
Trzy dzwony biją odpowiednio co $6$, $8$ i $12$ sekund. Zabrzmiały razem. Po ilu sekundach zabrzmią razem ponownie?
Uczniowie klasy mogą ustawić się w rzędach po $4$, po $5$ i po $6$ osób, za każdym razem bez reszty. Klasa liczy mniej niż $70$ osób. Ilu jest uczniów?
Która liczba dzieli się przez $3$?
Która liczba jest pierwsza?
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $7$.
Która liczba dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $5$?
Liczba dzieli się przez $9$, gdy:
Ile dzielników ma liczba $36$? Wypisz je.
Ile liczb pierwszych jest mniejszych od $20$?
Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce gwiazdki w liczbie $23{*}$, aby dzieliła się przez $9$?
Oblicz NWD$(30,\,45)$ i NWW$(30,\,45)$, a następnie sprawdź, czy iloczyn NWD i NWW równa się iloczynowi tych liczb.
Ogrodnik sadzi drzewa co $6$ metrów, a lampy ustawia co $8$ metrów, zaczynając od tego samego punktu. Po ilu metrach drzewo i lampa znajdą się w tym samym miejscu? Ile takich miejsc będzie na odcinku $100$ metrów?
Liczba $n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, a przy dzieleniu przez $6$ resztę $5$. Znajdź najmniejszą taką liczbę naturalną większą od zera.
Przez $3$ dzieli się liczba
Największy wspólny dzielnik liczb $24$ i $36$ jest równy
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $6$ i $8$ jest równa
Liczba pierwsza jest
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez $3$.
Liczba dzielników naturalnych liczby $12$ jest równa
Przez $4$ dzieli się liczba
Liczba parzysta i podzielna przez $5$ to
Reszta z dzielenia $2^{5}$ przez $5$ jest równa
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczba parzysta.
Przez $9$ dzieli się liczba
Największy wspólny dzielnik liczb $15$ i $25$ jest równy
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $4$ i $6$ jest równa
Przez $6$ dzieli się liczba
Wyznacz resztę z dzielenia liczby $50$ przez $6$.
Która z liczb jest podzielna przez $9$?
Rozważamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Ile jest liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej $4$ i zapisanych wyłącznie cyframi różnymi od zera? Wypisz je.
Czy liczba $k=417+255$ jest podzielna przez $3$? Odpowiedź uzasadnij bez wykonywania dzielenia.
Uzasadnij, że iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $10$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11. Z tego pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta.
Uzupełnij zdania. Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami (A/B). Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa (C/D).
Dane są liczby: \(k=69\) oraz \(m=83\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Suma liczb \(k\) i \(m\) jest podzielna przez \(4\).
2. Iloczyn liczb \(k\) i \(m\) jest podzielny przez \(3\).
Dane są liczby $91,92,95,97$. Która z nich przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $1$?
Czy liczba \(27\,733\) jest podzielna przez \(3\)? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
A. Tak / B. Nie, ponieważ 1. cyfrą jedności tej liczby jest \(3\) / 2. suma cyfr tej liczby nie jest podzielna przez \(3\) / 3. dwie ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez \(3\).
Spośród wszystkich liczb dwucyfrowych dodatnich losujemy jedną liczbę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(20\) jest równe
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.