1
MATEMATIX

Polityka cookies

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Podmiot prowadzący: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 4 LO › Twierdzenie Bayesa

Twierdzenie Bayesa

Klasa 4 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Twierdzenie Bayesa (klasa 4 LO)

Prawdopodobieństwo warunkowe

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dla $P(B)>0$.

Wzór Bayesa

Wiąże $P(A|B)$ z $P(B|A)$ i prawdopodobieństwami brzegowymi.

Prawdopodobieństwo całkowite

Rozkładamy przestrzeń na zdarzenia rozłączne pokrywające $\Omega$.

Zastosowanie

Diagnostyka, testy, aktualizacja prawdopodobieństwa po informacji.

∑Wzory 1

Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność i wzór Bayesa
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad A,B\ \text{niezależne} \iff P(A\cap B)=P(A)P(B),\qquad P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

Co robi: opisuje, jak informacja o zajściu jednego zdarzenia zmienia szansę drugiego, i pozwala „odwrócić” warunek.

Elementy: $P(A|B)$ — prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem, że zaszło $B$ (wymaga $P(B)>0$). Wzór Bayesa przelicza $P(A|B)$ na podstawie $P(B|A)$.

Przykład: rzut kostką, $B$ = „wypadła liczba parzysta”, $A$ = „wypadło 6”. Wtedy $P(A|B)=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}$.

Pułapka: $P(A|B)\ne P(B|A)$ — to zupełnie różne wielkości. Nie myl też zdarzeń niezależnych z rozłącznymi: rozłączne zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie są zawsze zależne.

🧩Quizy 1

▶Twierdzenie Bayesa8 pyt. trudny

✍Zadania 30

Zadanie nr 1

Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$ liczymy jako:

A $\tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
B $P(A)\cdot P(B)$
C $P(A)+P(B)$
D $\tfrac{P(B)}{P(A)}$
Zadanie nr 2

Oblicz $P(A|B)$, gdy $P(A\cap B)=0{,}2$, $P(B)=0{,}5$.

Zadanie nr PR09.1

Zdarzenia $A$ i $B$ spełniają: $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Oblicz $P(A\cup B)$.

Zadanie nr 3

Dla zdarzeń niezależnych $P(A|B)$ równa się:

A $P(B)$
B $P(A)$
C $0$
D $1$
Zadanie nr PR09.2

Dla zdarzeń z zadania PR09.1 oblicz $P(A|B)$.

Zadanie nr 4

Oblicz $P(A\cap B)$, gdy $P(A|B)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$.

Zadanie nr PR09.3

Rzucamy $5$ razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie trzech orłów.

Zadanie nr 5

Oblicz $P(B)$, gdy $P(A\cap B)=0{,}15$, $P(A|B)=0{,}3$.

Zadanie nr PR09.4

Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem $0{,}7$ w każdym strzale (niezależnie). Oddaje $4$ strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej $3$ razy.

Zadanie nr 6

W urnie jest $3$ białe i $2$ czarne kule. Losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania białej.

Zadanie nr PR09.5

Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jedną szóstkę, pod warunkiem że suma wyrzuconych oczek jest równa $10$.

Zadanie nr 7

Oblicz $P(A|B)$: $P(A\cap B)=0{,}3$, $P(B)=0{,}6$.

Zadanie nr PR09.6

W urnie I są $3$ kule białe i $2$ czarne, a w urnie II — $1$ biała i $4$ czarne. Rzucamy monetą: orzeł — losujemy kulę z urny I, reszka — z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Zadanie nr 8

Oblicz $P(A\cap B)$: $P(A|B)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$.

Zadanie nr PR09.7

Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$ losujemy bez zwracania sześć razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania, tworząc ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby $1$ i $2$ stoją w tym ciągu obok siebie.

Zadanie nr 9

$P(A|B)$ liczymy jako:

A $\tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
B $P(A)P(B)$
C $P(A)+P(B)$
D $\tfrac{P(B)}{P(A)}$
Zadanie nr PR09.8

W sytuacji z zadania PR09.6 wylosowano kulę białą. Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodziła z urny I.

Zadanie nr 10

W urnie $4$ białe, $6$ czarnych. $P$ białej?

Zadanie nr PR09.9

Ile co najmniej razy trzeba rzucić symetryczną kostką, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej szóstki było większe od $0{,}9$?

Zadanie nr 11

Oblicz $P(B)$: $P(A\cap B)=0{,}12$, $P(A|B)=0{,}3$.

Zadanie nr PR09.10

Z urny, w której jest $5$ kul białych i $3$ czarne, losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są białe, pod warunkiem że co najmniej jedna jest biała.

Zadanie nr 12

Dla niezależnych $P(A|B)$ równa się:

A $P(B)$
B $P(A)$
C $0$
D $1$
Zadanie nr 13

W urnie $2$ czerwone, $3$ zielone. $P$ czerwonej?

Zadanie nr 14

Oblicz $P(A|B)$: $P(A\cap B)=0{,}25$, $P(B)=0{,}5$.

Zadanie nr 15

Rzucamy kostką. $P$(szóstka | wynik parzysty)?

Zadanie nr 16

$P(A|B)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$. Oblicz $P(A\cap B)$.

Zadanie nr 17

Prawdopodobieństwo warunkowe zawsze należy do:

A $[-1,1]$
B $[0,1]$
C $(1,\infty)$
D $\mathbb{R}$
Zadanie nr 18

Rzucamy kostką. $P$(szóstka | wynik $>3$)?

Zadanie nr 19

W urnie $5$ kul, $2$ z nagrodą. Losujemy jedną. $P$ nagrody?

Zadanie nr 20

$P(A)=0{,}5$, $P(B|A)=0{,}4$. Oblicz $P(A\cap B)$.

Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas