Od wtorku do soboty jest \(5\) dni. Skoro średnia dzienna wynosi \(60\) stron, to łącznie Robert przeczytał:

\(5\cdot 60=300\) stron

Sumujemy strony przeczytane od wtorku do piątku:

\(55+68+72+49=244\)

W sobotę Robert przeczytał:

\(300-244=56\) stron

Odpowiedź: B.

Wypisujemy kolejne liczby, za każdym razem dzieląc poprzednią przez \(2\):

pierwsza: \(6\)

druga: \(6:2=3\)

trzecia: \(3:2=\frac{3}{2}\)

czwarta: \(\frac{3}{2}:2=\frac{3}{4}\)

piąta: \(\frac{3}{4}:2=\frac{3}{8}\)

Odpowiedź: C.

Zamieniamy czas na sekundy:

\(20\ \text{min}=20\cdot 60\ \text{s}=1200\ \text{s}\)

Sprawdzamy, ile razy \(250\) s mieści się w \(1200\) s:

\(1200:250=4{,}8\)

Martyna mogła wysłuchać w całości \(4\) ćwiczenia (piąte nie zmieściłoby się w całości, bo \(5\cdot 250=1250\gt 1200\)).

Odpowiedź: A.

Zdanie 1. Zapisujemy \(9\) jako potęgę liczby \(3\):

\(9^4=\left(3^2\right)^4=3^8\)

\(9^4:3^2=3^8:3^2=3^6\)

Ponieważ \(3^6\neq 3^2\), zdanie jest fałszywe (F).

Zdanie 2. Obliczamy iloczyn:

\(3^5\cdot 3^2=3^7\)

Sprawdzamy, ile razy \(3^8\) jest większa:

\(3^8:3^7=3\)

Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Zdanie 1. Obliczamy sumę:

\(69+83=152\)

\(152:4=38\) — dzielenie wykonuje się bez reszty, więc zdanie jest prawdziwe (P).

Zdanie 2. Sprawdzamy podzielność czynnika \(69\) przez \(3\) (suma cyfr \(6+9=15\) dzieli się przez \(3\)):

\(69=3\cdot 23\)

Zatem iloczyn \(69\cdot 83=3\cdot 23\cdot 83\) zawiera czynnik \(3\), więc jest podzielny przez \(3\). Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: P, P.

Część pierwsza. Kart z kwadratem jest \(4\) spośród \(18\):

\(P=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}\) — odpowiedź B.

Część druga. Obliczamy obwody figur:

trójkąt równoboczny: \(3\cdot 6=18\) cm

kwadrat: \(4\cdot 7=28\) cm

pięciokąt foremny: \(5\cdot 2=10\) cm

Obwód mniejszy od \(18\) cm ma tylko pięciokąt, a takich kart jest \(9\):

\(P=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) — odpowiedź C.

Odpowiedź: BC.

Oznaczmy długość całej trasy przez \(s\). Z warunku zadania:

\(\frac{2}{3}s=12\)

\(s=12\cdot\frac{3}{2}=18\) km

Połowa trasy:

\(\frac{1}{2}\cdot 18=9\) km

Odpowiedź: C.

Mnożymy obie strony równania przez \(2\), aby usunąć ułamek:

\(10+(1-x)=4(x-1)\)

\(11-x=4x-4\)

Przenosimy niewiadome na jedną stronę:

\(11+4=4x+x\)

\(15=5x\)

\(x=3\)

Sprawdzenie: \(5+\frac{1-3}{2}=5-1=4\) oraz \(2(3-1)=4\) ✓

Odpowiedź: C.

Zdanie 1. Pole rombu obliczamy jako połowę iloczynu przekątnych:

\(P_R=\frac{1}{2}\cdot 64=32\)

Zdanie jest prawdziwe (P).

Zdanie 2. Pole kwadratu o boku \(8\):

\(P_K=8^2=64\)

Ponieważ \(64\neq 32\), pola nie są równe. Zdanie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F.

Wniosek 1 — prawdziwy. Dwa kąty proste dałyby sumę \(180^\circ\), więc na trzeci kąt zostałoby \(0^\circ\). Dwa kąty rozwarte dałyby sumę większą niż \(180^\circ\). Oba przypadki są niemożliwe.

Wniosek 2 — fałszywy. Trójkąt rozwartokątny ma tylko jeden kąt rozwarty, a to nie wyklucza równoramienności. Przykładem jest trójkąt o kątach \(120^\circ, 30^\circ, 30^\circ\) — jest rozwartokątny i równoramienny.

Wniosek 3 — prawdziwy. Jeśli suma dwóch kątów jest większa od \(90^\circ\), to trzeci kąt jest równy \(180^\circ\) minus liczba większa od \(90^\circ\), czyli jest mniejszy od \(90^\circ\) — jest ostry.

Prawdziwe są wnioski 1. i 3.

Odpowiedź: A.

Zapisujemy wiek każdej osoby w zależności od \(x\):

Ania: \(x\)

Kasia: \(3x\)

Ola: \(3x+2\)

Sumujemy:

\(x+3x+(3x+2)=7x+2\)

Odpowiedź: D.

Część pierwsza. Pole trapezu:

\(P=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{1+9}{2}\cdot 6=5\cdot 6=30\ \text{cm}^2\) — odpowiedź A.

Część druga. Ramię ukośne wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa. Tworzy ono przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych: wysokości \(6\) cm i różnicy podstaw:

\(9-1=8\) cm

\(c=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \text{cm}\)

Ramię ukośne (\(10\) cm) jest dłuższe od dłuższej podstawy (\(9\) cm) — odpowiedź D.

Odpowiedź: AD.

Sześcian ma \(6\) jednakowych ścian kwadratowych o boku \(a\):

\(6a^2=150\)

\(a^2=25\)

\(a=5\) cm

Obliczamy objętość:

\(V=a^3=5^3=125\ \text{cm}^3\)

Odpowiedź: B.

Z rysunku odczytujemy: \(A=(-1,-1)\) oraz \(B=(1,-1)\). Ponadto \(C=(3,y)\) i \(D=(-1,y)\).

Obliczamy długości dwóch przeciwległych boków:

\(|AB|=1-(-1)=2\)

\(|DC|=3-(-1)=4\)

Zdanie 1. Boki \(AB\) i \(DC\) są równoległe (oba poziome), ale mają różne długości (\(2\neq 4\)). W równoległoboku przeciwległe boki muszą być równe, więc czworokąt \(ABCD\) jest trapezem, a nie równoległobokiem. Zdanie fałszywe (F).

Zdanie 2. Romb jest szczególnym równoległobokiem, a wykazaliśmy, że \(ABCD\) nie jest równoległobokiem dla żadnej wartości \(y\). Dla \(y=3\) nadal \(|AB|=2\neq 4=|DC|\), więc nie jest rombem. Zdanie fałszywe (F).

Odpowiedź: F, F.

Kostka sześcienna ma objętość \(1\) dm\(^3\), więc długość jej krawędzi wynosi:

\(k=\sqrt[3]{1}=1\) dm

Wyznaczamy kolejne krawędzie pudełka:

\(k=\frac{1}{3}a\Rightarrow a=3\) dm

\(k=\frac{1}{2}b\Rightarrow b=2\) dm

\(k=\frac{2}{5}c\Rightarrow c=\frac{5}{2}=2{,}5\) dm

Obliczamy objętość pudełka:

\(V=a\cdot b\cdot c=3\cdot 2\cdot 2{,}5=15\ \text{dm}^3\)

Odpowiedź: D.

Oznaczmy przez \(a\) cenę hulajnogi w sklepie A.

Cena w sklepie B:

\(b=80\%\cdot a=0{,}8a\)

Cena w sklepie C stanowi \(120\%\) ceny ze sklepu B:

\(c=120\%\cdot b=1{,}2\cdot 0{,}8a=0{,}96a\)

Otrzymaliśmy \(c=0{,}96a\), czyli cena w sklepie C stanowi \(96\%\) ceny w sklepie A.

Ponieważ \(0{,}96a\lt a\) (dla dodatniej ceny \(a\)), cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny w sklepie A — o \(4\%\). \(\blacksquare\)

Obliczamy koszt koszulki:

\(\frac{1}{5}\cdot 300=60\) zł

Kwota, która została po zakupie koszulki:

\(300-60=240\) zł

Obliczamy koszt torby sportowej:

\(\frac{3}{5}\cdot 240=144\) zł

Kwota, która została Kamilowi po obu zakupach:

\(240-144=96\) zł

Sprawdzenie: \(60+144+96=300\) ✓

Odpowiedź: Kamilowi zostało \(96\) zł.

Czas Kuby. Od godziny \(8{:}44\) do \(9{:}06\):

\(9{:}06-8{:}44=22\) minuty

Czas Pawła. Korzystamy ze wzoru \(t=\frac{s}{v}\):

\(t=\frac{7{,}5\ \text{km}}{18\ \frac{\text{km}}{\text{h}}}=\frac{7{,}5}{18}\ \text{h}=\frac{5}{12}\ \text{h}\)

Zamieniamy na minuty:

\(\frac{5}{12}\cdot 60=25\) minut

Porównujemy: \(22\ \text{min}\lt 25\ \text{min}\).

Odpowiedź: krótszy czas przejazdu miał Kuba.

Pierwsza oś. Punkt \(K=0\), a odcinek \(KM\) podzielono na \(9\) równych części. Punkt \(L=5\) jest drugim punktem podziału, więc dwie części mają łączną długość \(5\):

jedna część: \(5:2=2{,}5\)

Współrzędna punktu \(M\) to dziewięć takich części:

\(x=9\cdot 2{,}5=22{,}5\)

Druga oś. Punkt \(P=0\), \(S=18\), a odcinek \(PS\) podzielono na \(9\) równych części:

jedna część: \(18:9=2\)

Punkt \(R\) jest trzecim punktem podziału:

\(y=3\cdot 2=6\)

Obliczamy iloczyn:

\(x\cdot y=22{,}5\cdot 6=135\)

Odpowiedź: \(x\cdot y=135\)

Oznaczmy podstawę przez \(a\), wtedy każde ramię ma długość \(a+3\).

Zapisujemy warunek na obwód:

\(a+2(a+3)=36\)

\(3a+6=36\)

\(a=10\) cm, ramię: \(13\) cm

Wysokość poprowadzona do podstawy dzieli ją na połowy, więc z twierdzenia Pitagorasa:

\(h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\) cm

Obliczamy pole:

\(P=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60\ \text{cm}^2\)

Odpowiedź: pole trójkąta jest równe \(60\) cm\(^2\).

Podstawą jest kwadrat o boku \(3{,}5\) cm. Obliczamy jego obwód:

\(Ob=4\cdot 3{,}5=14\) cm

Wyznaczamy wysokość ostrosłupa:

\(H=14-8=6\) cm

Obliczamy pole podstawy:

\(P_p=(3{,}5)^2=12{,}25\ \text{cm}^2\)

Obliczamy objętość ostrosłupa:

\(V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 12{,}25\cdot 6=12{,}25\cdot 2=24{,}5\ \text{cm}^3\)

Odpowiedź: objętość ostrosłupa jest równa \(24{,}5\) cm\(^3\).