Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt \(O\) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt \(H\) jest jego ortocentrum.



Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

A. Punkt \(O\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

B. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

C. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

D. Punkt \(H\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

E. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

F. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

Odpowiedź:      

B. oraz D.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy przykładowy trójkąt równoramienny i oznaczmy na nim dwa interesujące nas punkty (najlepiej w osobnych rysunkach, tak aby było to bardziej przejrzyste). Ustalmy może jeszcze gdzie będą znajdować się te konkretne punkty. Aby móc narysować okrąg na trójkącie równoramiennym, to punkt \(O\) musi znajdować się w jednakowej odległości od każdego z wierzchołków. Z kolei ortocentrum to miejsce przecięcia się wszystkich wysokości trójkąta. Sytuacja będzie więc wyglądać następująco: Krok 2. Wybór właściwych odpowiedzi. Zacznijmy od punktu \(O\), czyli środka okręgu. Tak jak sobie powiedzieliśmy w poprzednim kroku (co zresztą widać na pierwszym rysunku), narysowanie okręgu na trójkącie równoramiennym jest możliwe tylko wtedy, gdy środek jest położony w jednakowej odległości od wierzchołków (która będzie jednocześnie długością promienia \(R\)), stąd też tutaj prawidłowa będzie odpowiedź B. Jeśli chodzi o punkt \(H\), to zgodnie z rysunkiem, będzie on równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta (tam, gdzie wysokość jest poprowadzona z ramion). Prawidłową odpowiedzią będzie więc D.

Teoria:      
W trakcie opracowania