Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Jego różnica jest równa \(4\), a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(a_{1}=2\)

Rozwiązanie:      
Z treści zadania wynika, że: $$3\cdot(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})=a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}$$ Spróbujmy teraz rozpisać poszczególne wyrazy tego ciągu, korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: $$a_{2}=a_{1}+r \           ,\ a_{3}=a_{1}+2r \           ,\ \text{...} \           ,\ a_{10}=a_{1}+9r$$ Wiemy, że różnica tego ciągu to \(r=4\), zatem moglibyśmy zapisać, że: $$a_{2}=a_{1}+4 \           ,\ a_{3}=a_{1}+8 \           ,\ \text{...} \           ,\ a_{10}=a_{1}+36$$ Podstawiając teraz te rozpisane wyrazy, otrzymamy: $$3\cdot(a_{1}+a_{1}+4+a_{1}+8+a_{1}+12+a_{1}+16)=a_{1}+20+a_{1}+24+a_{1}+28+a_{1}+32+a_{1}+36 \           ,\ 3\cdot(5a_{1}+40)=5a_{1}+140 \           ,\ 15a_{1}+120=5a_{1}+140 \           ,\ 10a_{1}=20 \           ,\ a_{1}=2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania