Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła \(300\) złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25 zł\) więcej niż w miesiącu poprzednim.



Zadanie 1.

Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku.



Zadanie 2.

Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota \(76860\) złotych.

Odpowiedź:      

1. \(a_{25}=900\)
2. \(32zł\)

Rozwiązanie:      
Rozwiązanie 1. Na początek ustalmy, ile wpłat dokonała Pani Joanna, bo to też może nie być do końca oczywiste. Pierwsza wpłata była w czerwcu 2020, druga w lipcu 2020, więc dwunasta wpłata nastąpiła w maju 2021, a tym samym dwudziesta czwarta w maju 2022. Wpłata pierwszego czerwca będzie więc wpłatą dwudziestą piątą. Powinniśmy dostrzec, że kwoty wpłat będą tworzyć pewien ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=300\) oraz \(r=25\). Skoro więc interesuje nas wartość dwudziestej piątej wpłaty, to zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że: $$a_{25}=a_{1}+24r \           ,\ a_{25}=300+24\cdot25 \           ,\ a_{25}=300+600 \           ,\ a_{25}=900$$ Rozwiązanie 2. W tym zadaniu wykorzystamy wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ Bazując na wyliczance miesięcy z poprzedniego podpunktu, możemy stwierdzić, że wpłata pierwszego czerwca 2025 będzie wpłatą sześćdziesiątą pierwszą, czyli w naszym przypadku \(n=61\). Podstawiając zatem \(S_{n}=76860\) oraz \(a_{1}=300\), otrzymamy: $$76860=\frac{2\cdot300+(61-1)r}{2}\cdot61 \           ,\ 1260=\frac{600+60r}{2} \           ,\ 2520=600+60r \           ,\ 60r=1920 \           ,\ r=32$$ To oznacza, że Pani Joanna powinna powiększać swoje wpłaty o \(32zł\) miesięcznie.

Teoria:      
W trakcie opracowania