Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{3}\), trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(\frac{1}{9}\), a suma wszystkich wyrazów to \(\frac{364}{243}\). Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg.

Odpowiedź:      

\(6\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu. Z treści zadania wiemy, że \(q=\frac{1}{3}\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{9}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że: $$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \           ,\ \frac{1}{9}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \           ,\ \frac{1}{9}=a_{1}\cdot\frac{1}{9} \           ,\ a_{1}=1$$ Krok 2. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu. Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, czyli: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$ Podstawiając do tego wzoru znane informacje, otrzymamy: $$\frac{364}{243}=1\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}} \           ,\ \frac{364}{243}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}} \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3} \           ,\ \frac{728}{729}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/-1 \           ,\ -\frac{1}{729}=-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/\cdot(-1) \           ,\ \left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{729} \           ,\ \left(\frac{1}{3}\right)^n=\left(\frac{1}{3}\right)^6 \           ,\ n=6$$ To oznacza, że ten ciąg składa się z sześciu wyrazów.

Teoria:      
W trakcie opracowania