Dana jest funkcja kwadratowa \(f\). Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych \((0, 8)\), a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu \(x=4\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x_{1}=2\). Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=f(x)\) w postaci iloczynowej.

Odpowiedź:      

\(f(x)=\frac{2}{3}(x-2)(x-6)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego. Z własności osi symetrii wynika, że jest ona oddalona od miejsc zerowych o jednakową odległość. Można więc powiedzieć, że skoro od pierwszego miejsca zerowego do osi symetrii mamy dwie jednostki, tak od osi symetrii do drugiego miejsca zerowego też będziemy mieć dwie jednostki, co prowadzi nas do wniosku, że \(x_{2}=6\). Do tego samego wyniku możemy dojść oczywiście korzystając ze średniej arytmetycznej, z której to często wyznaczamy oś symetrii: $$4=\frac{2+x_{2}}{2} \           ,\ 8=2+x_{2} \           ,\ x_{2}=6$$ Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i zapisanie postaci iloczynowej. Postać iloczynową zapisujemy jako \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Znamy już miejsca zerowe, więc moglibyśmy zapisać, że: $$f(x)=a(x-2)(x-6)$$ Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy podstawić do powyższego wzoru współrzędne znanego punktu, przez który przechodzi wykres funkcji, czyli punktu o współrzędnych \((0, 8)\). Skoro tak, to: $$8=a(0-2)(0-6) \           ,\ 8=a\cdot(-2)\cdot(-6) \           ,\ 8=12a \           ,\ a=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$ To oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci iloczynowej będzie \(f(x)=\frac{2}{3}(x-2)(x-6)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania