Trzy liczby, których suma jest równa \(24\), tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o \(4\), \(10\) i \(40\) będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny.

Odpowiedź:      

\(50,8,-34\) oraz \(2,8,14\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równań. Z treści zadania wynika, że mamy jakieś trzy liczby, których suma daje wynik równy \(24\), zatem: $$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24$$ Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że: $$a_{2}=a_{1}+r \           ,\ a_{3}=a_{1}+2r$$ Podstawiając teraz te zależności do początkowego równania, otrzymamy: $$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24 \           ,\ a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=24 \           ,\ 3a_{1}+3r=24 \           ,\ a_{1}+r=8 \           ,\ a_{1}=8-r$$ To z kolei prowadzi nas do wniosku, że: $$a_{2}=(8-r)+r \           ,\ a_{2}=8$$ $$a_{3}=(8-r)+2r \           ,\ a_{3}=8+r$$ Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając teraz zapisane wcześniej równania, otrzymamy: $$18^2=(8-r+4)^2\cdot(8+r+40)^2 \           ,\ 324=(12-r)^2\cdot(48+r)^2 \           ,\ 324=(12-r)\cdot(48+r) \           ,\ 324=576+12r-48r-r^2 \           ,\ 324=576-36r-r^2 \           ,\ r^2+36r-252=0$$ Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy rozwiązać. Jest to postać ogólna, więc skorzystamy z delty: Współczynniki: \(a=1,\;b=36,\;c=-252\) $$Δ=b^2-4ac=36^2-4\cdot1\cdot(-252)=1296-(-1008)=2304 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{2304}=48$$ $$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36-48}{2\cdot1}=\frac{-84}{2}=-42 \           ,\ r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36+48}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$ Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i wyznaczenie liczb tworzących ciąg. Otrzymaliśmy dwie różne różnice, więc zastanówmy się, czy którąś z nich trzeba odrzucić. Gdy \(r=-42\), to: \(a_{1}=8-(-42)=8+42=50 \           ,\ a_{2}=50+(-42)=50-42=8 \           ,\ a_{3}=50+2\cdot(-42)=50-84=-34\) Gdy \(r=6\), to: \(a_{1}=8-6=2 \           ,\ a_{2}=2+6=8 \           ,\ a_{3}=8+6=14\) Otrzymaliśmy dwa różne ciągi (jeden malejący, drugi rosnący) i żadnego z nich nie możemy wykluczyć (bo w treści zadania nie ma żadnej informacji o monotoniczności ciągu). Z tego też względu to zadanie ma dwa rozwiązania: \(50,8,-34\) oraz \(2,8,14\).

Teoria:      
W trakcie opracowania