Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o \(0,6^{o}C\), gdy wysokość wzrasta o \(100 m\), a gdy wysokość maleje o \(100 m\) – temperatura rośnie o \(0,6^{o}C\). W Zakopanem, które znajduje się na wysokości \(1000\) metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa \(13^{o}C\). W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.
Zadanie 1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Na Rysach, na wysokości \(2499\) metrów n.p.m., zmierzona temperatura powietrza nie przekraczała \(5^{o}C\).
2. W Białce Tatrzańskiej (\(650\) metrów n.p.m.) zmierzona temperatura powietrza była równa \(16,5^{o}C\).
Zadanie 2.
Niech \(f(x)=ax+b\) będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości \(x\) n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem. Oblicz wartość współczynnika \(a\) i wartość współczynnika \(b\).
Odpowiedź:
1. Prawda oraz fałsz
2. \(a=-0,006\) oraz \(b=19\)
Rozwiązanie:
Rozwiązanie 1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Różnica wysokości między Rysami i Zakopanem wynosi:
$$2499m-1000m=1499m$$
Zgodnie z treścią zadania, na każde \(100 m\) różnicy wysokości, temperatura zmienia się o \(0,6^{o}C\). To oznacza, że tutaj ta różnica wyniesie:
$$\frac{1499m}{100m}\cdot0,6^{o}C=14,99\cdot0,6^{o}C=8,994^{o}C$$
Skoro więc w Zakopanem mieliśmy temperaturę \(13^{o}C\), a na Rysach będzie ona o \(8,994^{o}C\) mniejsza, to wyniesie ona:
$$13^{o}C-8,994^{o}C=4,006^{o}C$$
Wyszło nam, że temperatura powietrza faktycznie nie przekracza \(5^{o}C\), czyli zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Różnica wysokości między Zakopanem i Białką Tatrzańską wynosi:
$$1000m-650m=350m$$
To oznacza, że różnica temperatur wyniesie:
$$\frac{350m}{100m}\cdot0,6^{o}C=3,5\cdot0,6^{o}C=2,1^{o}C$$
W takim razie temperatura w Białce Tatrzańskiej wyniesie:
$$13^{o}C+2,1^{o}C=15,1^{o}C$$
Zdanie jest więc fałszem.
Rozwiązanie 2.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Ustalmy co tak naprawdę musimy obliczyć. Widzimy, że zależność między wysokością i temperaturą jest liniowa (co \(100m\) temperatura spada o \(0,6\) stopnia), stąd też właśnie da się ją opisać wzorem funkcji liniowej typu \(f(x)=ax+b\). Wiemy więc już, że będzie to funkcja liniowa i możemy nawet stwierdzić, że będzie ona malejąca, ponieważ im wyższa wysokość, tym temperatura jest mniejsza (czyli spodziewamy się, że współczynnik \(a\) wyjdzie nam ujemny). Generalnie nasza funkcja wygląda mniej więcej w ten oto sposób:
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Z własności funkcji liniowych wiemy, że współczynnik \(b\) mówi nam, w którym miejscu wykres funkcji liniowej przecina się z osią \(Oy\), czyli jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentu \(x=0\). Jeśli więc dowiemy się jaka temperatura będzie na wysokości \(0 m\) to automatycznie poznamy wartość współczynnika \(b\).
Wiemy, że w Zakopanem (\(1000m\;n.p.m.\)) temperatura wynosi \(13^{o}C\), więc skoro temperatura spada o \(0,6^{o}C\) co \(100m\), to na wysokości \(0m\;n.p.m.\) ta temperatura będzie o \(6\) stopni wyższa, czyli wyniesie \(19^{o}C\). Tym samym współczynnik \(b=19\).
Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Skoro współczynnik \(b=19\), to wiemy już, że \(y=ax+19\). Musimy odnaleźć jeszcze brakujący współczynnik \(a\). Wiemy, że na wysokości \(1000\) metrów jest \(13\) stopni, czyli wiemy, że ta funkcja dla \(x=1000\) musi przyjmować wartość równą \(13\). Skoro tak, to:
$$13=1000a+19 \ ,\
-6=1000a \ ,\
a=-0,006$$
Teoria:
W trakcie opracowania
