Równanie \(\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:

A nie ma rozwiązań
B ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
C ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=-3\)
D ma dokładnie cztery rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\), \(x=3\), \(x=-3\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń do treści zadania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość z mianownika musi być różna od zera. To sprawia, że musimy do treści zadania wprowadzić pewne założenia: $$x-2\neq0 \quad\lor\quad (x-3)^2\neq0 \           ,\ x\neq2 \quad\lor\quad x\neq3$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony przez wartość z mianownika, zatem: $$\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-2)(x-3)^2 \           ,\ (3x^2-6x)(x^2-9)=0 \           ,\ 3x^2-6x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \           ,\ x(3x-6)=0 \quad\lor\quad x^2=9 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$ Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników. Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi założeniami. Zgodnie z nimi musimy odrzucić rozwiązania \(x=2\) oraz \(x=3\), stąd też zostają nam jedynie dwa rozwiązania, czyli \(x=0\) oraz \(x=-3\).

Teoria:      
W trakcie opracowania