Rozwiąż układ równań

\begin{cases}

x^2+y^2-4x+4y-17=0 \           ,\

2x-y-1=0

\end{cases}

Odpowiedź:      

\(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozwiązanie układu równań. Tym razem mamy układ równań, w którym jedno z równań jest równaniem kwadratowym. To generalnie nie zmienia istoty sprawy i rozwiązujemy ten układ w standardowy sposób. W tym przypadku, najprościej byłoby skorzystać z metody podstawiania, przekształcając odpowiednio drugie równanie, zatem: \begin{cases} x^2+y^2-4x+4y-17=0 \           ,\ y=2x-1 \end{cases} Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego, otrzymamy: $$x^2+(2x-1)^2-4x+4\cdot(2x-1)-17=0 \           ,\ x^2+4x^2-4x+1-4x+8x-4-17=0 \           ,\ 5x^2-20=0 \quad\bigg/:5 \           ,\ x^2-4=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i zakończenie rozwiązywania układu równań. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. To równanie jest na tyle proste, że damy radę obliczyć je bez wyznaczania delty, zatem: $$x^2=4 \           ,\ x=2 \quad\lor\quad x=-2$$ Jak to standardowo bywa w równaniach kwadratowych, otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa te rozwiązania są jak najbardziej poprawne. Teraz musimy wyznaczyć wartość \(y\), korzystając np. z równania \(y=2x-1\). Z racji tego, iż mamy dwie różne wartości \(x\), to musimy sprawdzić jaki wynik osiągniemy gdy podstawimy \(x=2\) i jaki, gdy podstawimy \(x=-2\), zatem: Gdy \(x=2\), to: $$y=2\cdot2-1 \           ,\ y=4-1 \           ,\ y=3$$ Gdy \(x=-2\), to: $$y=2\cdot(-2)-1 \           ,\ y=-4-1 \           ,\ y=-5$$ To oznacza, że rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb: \(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)

Teoria:      
W trakcie opracowania