Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2x^2+bx+c\) i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla \(x\in(-4,2)\).



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta \(x=1\).
Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem \(f(x)=-2(x+4)(x-2)\).

Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta \(x=1\).

Odpowiedź:      

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. W tym przypadku będzie miała ona ramiona skierowane w dół, ponieważ współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w ten oto sposób: Widzimy, że skrajne argumenty, czyli \(x=-4\) oraz \(x=2\) to miejsca zerowe naszej funkcji i to będzie nasz punkt wyjścia do dalszym obliczeń. Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Jedną z własności osi symetrii jest fakt, iż znajduje się ona dokładnie po środku między miejscami zerowymi. Do jej wyznaczenia możemy więc skorzystać ze średniej arytmetycznej: $$x=\frac{-4+2}{2} \           ,\ x=\frac{-2}{2} \           ,\ x=-1$$ Zdanie jest więc fałszem. Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Postać iloczynową zapisujemy jako \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Ustaliliśmy już, że miejscami zerowymi są \(x_{1}=-4\) oraz \(x_{2}=2\). Wiemy też, że współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to: $$f(x)=-2(x-(-4))(x-2) \           ,\ f(x)=-2(x+4)(x-2)$$ Zdanie jest więc prawdą.

Teoria:      
W trakcie opracowania