Dana jest liczba dwucyfrowa \(a\), w której suma cyfr jest równa \(14\). Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o \(18\) mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr. Oblicz liczbę \(a\).

Odpowiedź:      

\(a=86\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania. Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń dotyczących cyfr dziesiątek i jedności: \(x\) - cyfra dziesiątek \(y\) - cyfra jedności Z treści wynika, że suma tych dwóch cyfr jest równa \(14\), zatem: $$x+y=14$$ Spróbujmy teraz zapisać równanie opisujące naszą liczbę, bazując na oznaczeniach \(x\) oraz \(y\). Wbrew pozorom nie możemy zapisać, że \(a=xy\) lub \(a=x+y\). Tego typu liczby zapisujemy jako: $$a=10\cdot x+y$$ Powyższy zapis jest standardowy w tego typu zadaniach, więc warto o nim pamiętać. Jeśli nie jest on zbyt zrozumiały (zwłaszcza to mnożenie przez \(10\)), to wystarczy sobie wyobrazić, że przykładowo dla \(x=5\) oraz \(y=8\) otrzymamy liczbę \(a=5\cdot10+8=58\). Dodatkowo z treści zadania wiemy, że przy zamianie cyfr (czyli gdy będziemy mieli liczbę \(10y+x\)) powstanie liczba o \(18\) mniejsza, zatem: $$10y+x=10x+y-18$$ Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań. Bazując na równaniach zapisanych w poprzednim kroku, możemy ułożyć następujący układ równań: \begin{cases} x+y=14 \           ,\ 10y+x=10x+y-18 \end{cases} Najprościej będzie skorzystać z metody podstawiania. Wyznaczmy więc wartość \(x\) z pierwszego równania i przy okazji uporządkujmy to drugie równanie: \begin{cases} x=14-y \           ,\ -9x+9y=-18 \quad\bigg/:(-9) \end{cases} \begin{cases} x=14-y \           ,\ x-y=2 \end{cases} Teraz podstawiając pierwsze równanie do drugiego, otrzymamy: $$14-y-y=2 \           ,\ -2y=-12 \           ,\ y=6$$ Znamy już wartość jednej z cyfr, więc musimy jeszcze obliczyć drugą. W tym celu wystarczy podstawić obliczone \(y=6\) do jednego z równań np. \(x=14-y\), otrzymując: $$x=14-6 \           ,\ x=8$$ To oznacza, że nasza liczba \(a\) jest równa: $$a=8\cdot10+6 \           ,\ a=80+6 \           ,\ a=86$$

Teoria:      
W trakcie opracowania