Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(y=f(x)=x^2+5x+6\), gdzie \(x\in R\).



Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.



1. Postać kanoniczna funkcji \(f\) wyraża się wzorem:

A. \(y=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)

B. \(y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

C. \(y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{5}{2}\)

D. \(y=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{5}{2}\)



2. Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem:

E. \(y=(x-2)(x-3)\)

F. \(y=(x-2)(x+3)\)

G. \(y=(x+2)(x-3)\)

H. \(y=(x+2)(x+3)\)

Odpowiedź:      

B. oraz H.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania. Chcąc zapisać postać kanoniczną, musimy najpierw poznać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). W tym celu musimy skorzystać ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\), do których będziemy podstawiać współczynniki funkcji kwadratowej zapisanej w treści zadania, czyli: \(a=1\), \(b=5\) oraz \(c=6\). Zacznijmy od współrzędnej \(p\), zatem: $$p=\frac{-b}{2a} \           ,\ p=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$$ Teraz obliczmy współrzędną \(q\). Tutaj we wzorze pojawia nam się delta, więc może wyliczmy ją osobno dla lepszej przejrzystości zapisu: $$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$ I teraz znając deltę, możemy zapisać, że: $$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\ q=\frac{-1}{4\cdot1} \           ,\ q=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$$ To oznacza, że \(W=\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)\). Teraz możemy przejść do zapisania postaci kanonicznej. Postać kanoniczną zapisujemy jako: $$y=a(x-p)^2+q$$ Wiemy już, że \(p=-\frac{5}{2}\) oraz \(q=-\frac{1}{4}\). Z postaci ogólnej odczytaliśmy też, że \(a=1\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do powyższego wzoru, otrzymamy: $$y=1\cdot\left(x-(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{4}\right) \           ,\ y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$ Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania. Do zapisania postaci iloczynowej będziemy potrzebować miejsc zerowych. Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+5x+6=0\), a skoro deltę liczyliśmy już w poprzednim kroku i wyszło nam, że \(Δ=1\), to możemy przejść do zapisania rozwiązań: $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-1}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2$$ Teraz możemy przystąpić do zapisania postaci iloczynowej. Postać iloczynową zapisujemy jako: $$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$ Podstawiając wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=-2\), a także współczynnik \(a=1\), otrzymamy: $$y=1\cdot(x-(-3))(x-(-2)) \           ,\ y=(x+3)(x+2)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania