Kąt \(\alpha\) jest ostry, a \(sin\alpha=2\cdot cos\alpha\).



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. \(tg\alpha=2\)
\(sin\alpha=\frac{1}{2}\)

\(tg\alpha=2\)

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Skoro tak, to podane w treści równanie możemy przekształcić w następujący sposób: $$sin\alpha=2\cdot cos\alpha \           ,\ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2 \           ,\ tg\alpha=2$$ Zdanie jest więc prawdą. Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Tym razem skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli zależności \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Z równania \(sin\alpha=2\cdot cos\alpha\) wynika, że \(cos\alpha=\frac{1}{2}sin\alpha\). Podstawiając to teraz do jedynki trygonometrycznej, otrzymamy: $$sin^2\alpha+\left(\frac{1}{2}sin\alpha\right)^2=1 \           ,\ sin^2\alpha+\frac{1}{4}sin^2\alpha=1 \           ,\ \frac{5}{4}sin^2\alpha=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \           ,\ sin^2\alpha=\frac{4}{5} \           ,\ sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{5}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{4}{5}}$$ Skoro \(\alpha\) jest kątem ostrym, to sinus takiego kąta musi być dodatni, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy i zostaje nam jedynie \(sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{5}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako $$sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$ Sinus nie jest więc równy \(\frac{1}{2}\), czyli zdanie jest fałszem.

Teoria:      
W trakcie opracowania