Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3\cdot(-2)^n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(3\).
Ciąg \((a_{n})\) jest malejący.

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(3\).

Odpowiedź:      

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Patrząc się na wzór ciągu możemy zauważyć, że \(q=-2\), bo to właśnie liczba \(-2\) jest podnoszona do potęgi \(n\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy obliczyć wartości dwóch przykładowych wyrazów, np. \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\), zatem: $$a_{1}=3\cdot(-2)^1=3\cdot(-2)=-6 \           ,\ a_{2}=3\cdot(-2)^2=3\cdot4=12$$ W takim razie iloraz będzie równy: $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\ q=\frac{12}{-6} \           ,\ q=-2$$ Zdanie jest więc fałśzem. Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Już po obliczeniu pierwszych dwóch wyrazów w pierwszym kroku widać wyraźnie, że ten ciąg na pewno nie jest malejący (nie będzie też rosnący, tylko będzie niemonotoniczny), więc zdanie jest fałszem.

Teoria:      
W trakcie opracowania