Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\), a jej wierzchołkiem jest punkt \((1,4)\).





Zadanie 1.

Wyznacz i zapisz równanie osi symetrii wykresu funkcji \(f\).



Zadanie 2.

Wyznacz wzór funkcji \(f\). Zapisz obliczenia.



Zadanie 3.

Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)+m\), gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Liczba \(m\) jest równa:

A. \(-2\)

B. \(2\)

C. \(-4\)

D. \(4\)

Odpowiedź:      

1. \(x=1\)
2. \(f(x)=-2(x-1)^2+4\)
3. A

Rozwiązanie:      
Zadanie 1. Oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek paraboli. Współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli jest równa \(1\), stąd też możemy być pewni, że równaniem osi symetrii wykresu funkcji \(f\) jest \(x=1\). Zadanie 2. Znając współrzędne wierzchołka paraboli, najprościej będzie skorzystać z postaci kanonicznej, czyli \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Skoro współrzędne wierzchołka są równe \((1;4)\), to \(p=1\) oraz \(q=4\), zatem: $$f(x)=a(x-1)^2+4$$ Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne jednego z punktów, przez który przechodzi wykres. Możemy tutaj skorzystać z punktu podanego w treści zadania, czyli \((0;2)\). W związku z tym: $$2=a\cdot(0-1)^2+4 \           ,\ 2=a\cdot(-1)^2+4 \           ,\ 2=a\cdot1+4 \           ,\ 2=a+4 \           ,\ a=-2$$ To oznacza, że wzorem tej funkcji jest \(f(x)=-2(x-1)^2+4\). Zadanie 3. Ze wzoru \(g(x)=f(x)+m\) wynika, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(m\) jednostek w górę lub w dół. Aby funkcja \(g(x)\) miała miejsce zerowe równe \(0\), to funkcja \(f(x)\) musiałaby być przesunięta o \(2\) jednostki w dół, czyli mielibyśmy wtedy wzór \(g(x)=f(x)-2\). To prowadzi nas do wniosku, że \(m=-2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania