Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge2\) liczba \(8^n-2^n\) jest podzielna przez \(12\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz własności podzielności liczb.

Rozwiązanie:      
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób: $$8^n-2^n=2^{n}\cdot(4^{n}-1)$$ Teraz powinniśmy dostrzec, że wyrażenie w nawiasie da się rozpisać wykorzystując wzór skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Dzięki temu otrzymamy taką oto sytuację: $$2^{n}\cdot(2^{n}-1)\cdot(2^{n}+1)$$ Jeśli się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że liczby \(2^{n}-1\), \(2^{n}\) oraz \(2^{n}+1\) to po prostu trzy kolejne liczby naturalne. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że jedna z tych liczb jest podzielna przez \(3\). Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\), a to by oznaczało, że liczba \(2^n\) jest na pewno liczbą parzystą i to taką, która jest podzielna przez \(4\). To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i przez \(4\) jednocześnie, więc jest tym samym podzielna przez \(12\), co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania