Punkty \(A=(1,1)\) i \(C=(5,5)\) są przeciwległymi wierzchołkami rombu \(ABCD\). Wierzchołek \(B\) leży na osi \(Ox\) układu współrzędnych.



Wierzchołek \(B\) ma współrzędne:

A \((4,0)\)
B \((5,0)\)
C \((6,0)\)
D \((7,0)\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nanieśmy na układ współrzędnych znane punkty \(A\) oraz \(C\) i spróbujmy naszkicować omawiany romb. Wiemy, że wszystkie boki rombu mają jednakową długość, czyli punkt \(B\) (który leży na osi \(Ox\)) musi być oddalony o jednakową odległość zarówno od punktu \(A\) jak i \(C\). Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco: Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(B\). Wiemy, że wierzchołek \(B\) leży na osi \(Ox\), czyli wiemy, że jego współrzędna \(y_{B}=0\). Brakuje nam tylko współrzędnej \(x\) tego punktu. Punktem wyjścia do jej wyznaczenia będzie obserwacja, że długości boków rombu mają jednakową miarę, zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka moglibyśmy zapisać, że: $$|AB|=|BC| \           ,\ \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \           ,\ (x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$ Teraz wystarczy podstawić do tego równania znane nam współrzędne. W przypadku punktu \(B\) w miejsce \(y_{B}\) podstawimy oczywiście \(0\), a w miejsce \(x_{B}\) możemy podstawić \(x\), tak aby była lepsza przejrzystość zapisu, zatem: $$(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \           ,\ (x-1)^2+(0-1)^2=(5-x)^2+(5-0)^2 \           ,\ x^2-2x+1+1=25-10x+x^2+25 \           ,\ -2x+2=-10x+50 \           ,\ 8x=48 \           ,\ x=6$$ To oznacza, że wierzchołek \(B\) ma współrzędne \((6;0)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania