Własności kątów

Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-72^\circ=108^\circ$$

Odpowiedź: C. $108^\circ$.

Kąty wierzchołkowe (leżące naprzeciw przy przecięciu prostych) są zawsze równe.

Odpowiedź: A. równe.

Wzór na sumę kątów wielokąta o $n$ bokach:

$$S=(n-2)\cdot180^\circ$$

Dla pięciokąta ($n=5$):

$$S=(5-2)\cdot180^\circ=3\cdot180^\circ=540^\circ$$

Intuicja: pięciokąt dzieli się przekątnymi na $3$ trójkąty.

Odpowiedź: $540^\circ$.

Krok 1 — suma kątów sześciokąta:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — w foremnym wszystkie kąty równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: B. $120^\circ$.

Korzystamy z nierówności trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

$$3+4=7$$

Ponieważ $7<8$, warunek nie jest spełniony — takiego trójkąta zbudować się nie da.

Odpowiedź: nie, bo $3+4<8$.

Sprawdzamy nierówność trójkąta dla każdego zestawu (suma dwóch mniejszych > największy):

$$\text{D: } 4+5=9>6 \ ✔$$

Pozostałe zawodzą: A ($2+3=5<6$), B ($1+2=3$, nie większe), C ($1+3=4<5$).

Odpowiedź: D. $4,\,5,\,6$.

Kąty przy podstawie są równe. Na dwa z nich zostaje:

$$180^\circ-50^\circ=130^\circ$$

Dzielimy na dwa:

$$130^\circ:2=65^\circ$$

Sprawdzenie: $50^\circ+65^\circ+65^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: każdy kąt przy podstawie ma $65^\circ$.

Cecha BBB (bok–bok–bok): trójkąty są przystające, gdy wszystkie trzy pary odpowiadających boków są równe.

Uwaga: równość kątów (odpowiedź B) daje tylko podobieństwo, a nie przystawanie — trójkąty mogą mieć różne rozmiary.

Odpowiedź: A.

Kąt zewnętrzny i przyległy do niego kąt wewnętrzny są przyległe (sumują się do $180^\circ$):

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ$$

Dodatkowa własność: kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych trójkąta.

Odpowiedź: $65^\circ$.

Kwadrat ma $4$ osie symetrii: dwie przekątne i dwie proste łączące środki przeciwległych boków.

Dla porównania: prostokąt ma $2$ osie, a koło nieskończenie wiele.

Odpowiedź: C. $4$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt w foremnym:

$$1080^\circ:8=135^\circ$$

Odpowiedź: suma $1080^\circ$, jeden kąt $135^\circ$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$$

Krok 2 — rodzaj trójkąta. Wszystkie kąty ($40^\circ$, $75^\circ$, $65^\circ$) są mniejsze od $90^\circ$, więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź: trzeci kąt $65^\circ$; trójkąt ostrokątny.

Przy prostych równoległych przeciętych sieczną kąty naprzemianległe są równe. Tak samo kąty odpowiadające.

Kąty jednostronne wewnętrzne z kolei sumują się do $180^\circ$.

Odpowiedź: B. równe.

Korzystamy z faktu, że suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wynosi $360^\circ$.

Krok 1 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Krok 2 — liczba boków:

$$n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12$$

Sprawdzenie wzorem: $\frac{(12-2)\cdot180^\circ}{12}=\frac{1800^\circ}{12}=150^\circ$ ✔

Odpowiedź: $12$ boków (dwunastokąt).

Mamy równe dwie pary boków oraz równe kąty między tymi bokami.

To cecha przystawania bok–kąt–bok (BKB).

Kluczowe: kąt musi leżeć między danymi bokami. Gdyby leżał przy innym boku, cecha by nie działała.

Odpowiedź: tak, są przystające na mocy cechy bok–kąt–bok (BKB).

Niezależnie od liczby boków, suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała i wynosi $360^\circ$.

Intuicja: obchodząc wielokąt dookoła, wykonujemy jeden pełny obrót.

Odpowiedź: D. $360^\circ$.

Krok 1 — równanie z sumy kątów:

$$x+2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 6x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=30^\circ$$

Krok 2 — poszczególne kąty:

$$30^\circ,\qquad 60^\circ,\qquad 90^\circ$$

Krok 3 — rodzaj. Jeden kąt ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Sprawdzenie: $30^\circ+60^\circ+90^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$; trójkąt prostokątny.

Krok 1 — obwód:

$$x+(x+2)+(x+4)=18 \quad\Rightarrow\quad 3x+6=18 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Krok 2 — boki:

$$4,\qquad 6,\qquad 8$$

Krok 3 — nierówność trójkąta. Sprawdzamy sumę dwóch krótszych:

$$4+6=10>8 \ ✔$$

Warunek jest spełniony, więc taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: boki $4$, $6$, $8$; nierówność trójkąta jest spełniona.

Krok 1 — warunki. Kąty przyległe: $\alpha+\beta=180^\circ$, przy czym $\alpha=3\beta$.

Krok 2 — podstawiamy:

$$3\beta+\beta=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 4\beta=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \beta=45^\circ$$

Krok 3 — drugi kąt:

$$\alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $135^\circ+45^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Podstawiamy $n=8$ do wzoru na liczbę przekątnych wielokąta:

$$\frac{n(n-3)}{2}=\frac{8\cdot(8-3)}{2}=\frac{8\cdot5}{2}=\frac{40}{2}=20$$

Skąd ten wzór: z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych (nie liczymy samego wierzchołka i dwóch sąsiednich). Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzylibyśmy dwa razy — z obu końców.

Odpowiedź: ośmiokąt ma $20$ przekątnych.