Symetralna odcinka i dwusieczna kąta

Symetralna spełnia dwa warunki naraz: przechodzi przez środek odcinka i tworzy z nim kąt prosty.

Uwaga: sama prosta przechodząca przez środek to jeszcze nie symetralna — brakuje prostopadłości.

Odpowiedź: A.

Odległości są równe:

$$|PA|=|PB|$$

To najważniejsza własność symetralnej i działa też w drugą stronę: każdy punkt równo oddalony od $A$ i $B$ leży na symetralnej odcinka $AB$.

Odpowiedź: są równe.

Symetralna przechodzi przez środek odcinka, więc dzieli go na połowy:

$$|AS|=\frac{12}{2}=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $6$ cm.

Dwusieczna wychodzi z wierzchołka kąta i dzieli go na dwie równe części.

Własność analogiczna do symetralnej: każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo oddalony od obu ramion kąta.

Odpowiedź: C.

Dwusieczna dzieli kąt na połowy:

$$\frac{84^\circ}{2}=42^\circ$$

Odpowiedź: po $42^\circ$.

Kwadrat ma cztery osie symetrii:

• dwie proste przechodzące przez środki przeciwległych boków,
• dwie przekątne.

Dla porównania: prostokąt niebędący kwadratem ma tylko dwie — jego przekątne nie są osiami symetrii.

Odpowiedź: B. $4$.

Prostokąt: dwie osie — proste przez środki przeciwległych boków. Przekątne prostokąta osiami nie są, bo odbicie względem przekątnej nie nakłada figury na siebie.

Romb: również dwie osie — ale tym razem są nimi właśnie przekątne.

Ciekawe zestawienie. Obie figury mają po dwie osie, tylko zupełnie różne. Kwadrat, będący jednocześnie prostokątem i rombem, ma wszystkie cztery.

Odpowiedź: po $2$ osie każda.

Trójkąt równoboczny: trzy osie. Każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku.

Trójkąt równoramienny: jedna oś — poprowadzona z wierzchołka między ramionami do środka podstawy.

A trójkąt różnoboczny? Nie ma żadnej osi symetrii.

Odpowiedź: $3$ oraz $1$.

Środkiem symetrii równoległoboku jest punkt przecięcia jego przekątnych — obrót o $180^\circ$ wokół tego punktu nakłada figurę na siebie.

Dlaczego nie trójkąt: żaden trójkąt nie ma środka symetrii, bo obrót o $180^\circ$ zawsze zamienia go na trójkąt „odwrócony”.

Ciekawostka: równoległobok (niebędący rombem ani prostokątem) ma środek symetrii, ale ani jednej osi symetrii. Te dwie własności są od siebie niezależne.

Odpowiedź: D. równoległobok.

Punkt równo oddalony od obu ramion kąta leży na jego dwusiecznej.

Uwaga na sposób mierzenia: odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego do niej, a nie dowolnego odcinka.

Zastosowanie. Właśnie dlatego środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych — jest równo oddalony od wszystkich trzech boków.

Odpowiedź: na dwusiecznej tego kąta.

Każda prosta przechodząca przez środek okręgu jest jego osią symetrii, a takich prostych jest nieskończenie wiele.

Okrąg ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Odpowiedź: D. nieskończenie wiele.

Krok 1 — pierwszy podział:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Krok 2 — podział jednej z połówek:

$$\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Krok 3 — powstałe kąty:

$$22{,}5^\circ,\qquad 22{,}5^\circ,\qquad 45^\circ$$

Sprawdzenie: $22{,}5+22{,}5+45=90^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa kąty po $22{,}5^\circ$ i jeden $45^\circ$.

Krok 1. Rozstawiamy cyrkiel na promień większy od połowy odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ zataczamy łuk nad odcinkiem i pod nim.

Krok 3. Z punktu $B$, nie zmieniając rozwarcia cyrkla, zataczamy takie same łuki.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach. Prosta przez te punkty to szukana symetralna.

Dlaczego to działa. Oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$ — mają ten sam promień z obu środków. A punkty równo oddalone od końców odcinka leżą właśnie na symetralnej.

Odpowiedź: prosta przez oba punkty przecięcia łuków.

Każdy punkt symetralnej boku jest równo oddalony od jego końców, więc punkt przecięcia wszystkich trzech symetralnych jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków — a to definicja środka okręgu opisanego.

Dla porównania: środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych, a środek ciężkości — na przecięciu środkowych.

Odpowiedź: B. okręgu opisanego.

Sześciokąt foremny ma sześć osi symetrii:

• trzy proste łączące przeciwległe wierzchołki,
• trzy proste łączące środki przeciwległych boków.

Reguła ogólna: wielokąt foremny o $n$ bokach ma dokładnie $n$ osi symetrii.

Odpowiedź: $6$ osi.

Obrót o $180^\circ$ wokół środka odcinka zamienia punkt $A$ z punktem $B$ i nakłada odcinek na siebie.

Odcinek ma też osie symetrii: swoją symetralną oraz prostą, na której sam leży.

Odpowiedź: C. środek odcinka.

Krok 1 — pierwsza dwusieczna dzieli kąt $AOB$:

$$\angle AOC=\angle COB=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$

Krok 2 — druga dwusieczna dzieli kąt $AOC$:

$$\angle AOD=\angle DOC=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ$$

Krok 3 — zestawienie:

$$\angle AOD=30^\circ,\qquad \angle DOC=30^\circ,\qquad \angle COB=60^\circ$$

Sprawdzenie: $30+30+60=120^\circ$ ✔ Cały kąt został odtworzony.

Odpowiedź: $30^\circ$, $30^\circ$ i $60^\circ$.

Koło: nieskończenie wiele osi, jeden środek symetrii.

Kwadrat: $4$ osie, jeden środek symetrii.

Prostokąt: $2$ osie, jeden środek symetrii.

Trójkąt równoboczny: $3$ osie, brak środka symetrii.

Równoległobok: $0$ osi, jeden środek symetrii.

Wniosek. Te dwie własności są od siebie niezależne. Trójkąt równoboczny ma aż trzy osie, a mimo to nie ma środka symetrii. Równoległobok — odwrotnie: ma środek, ale nie ma żadnej osi.

Odpowiedź: jak w zestawieniu wyżej.

Oznaczenia. Niech trójkąt $ABC$ ma ramiona $|AC|=|BC|$, a $CD$ będzie wysokością opuszczoną na podstawę $AB$.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ACD$ i $BCD$. Mają:

• $|AC|=|BC|$ — z założenia o równych ramionach,
• $|CD|$ — bok wspólny,
• kąty przy $D$ proste — bo $CD$ jest wysokością.

Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–bok–kąt dla trójkątów prostokątnych (równe przeciwprostokątne i jedna przyprostokątna), więc oba trójkąty są przystające.

Krok 3 — wnioski z przystawania. Odpowiadające sobie elementy są równe:

$$|AD|=|BD| \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{przechodzi przez środek } AB$$

$$\angle ACD=\angle BCD \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{dzieli kąt } ACB \text{ na połowy}$$

Krok 4 — domknięcie. Skoro $CD$ przechodzi przez środek $AB$ i jest do niego prostopadła, jest symetralną podstawy. Skoro dzieli kąt $ACB$ na dwa równe, jest jego dwusieczną. $\qquad ∎$

Warto zapamiętać. W trójkącie równoramiennym cztery linie zlewają się w jedną: wysokość, środkowa, dwusieczna i symetralna podstawy. W trójkącie różnobocznym są to cztery różne proste.

Sprawdzenie: w trójkącie o ramionach $5$ i podstawie $6$ wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki po $3$, a z twierdzenia Pitagorasa $h=\sqrt{25-9}=4$ — oba trójkąty prostokątne są identyczne ✔

Oznaczenia. Niech $k$ będzie symetralną odcinka $AB$, przecinającą go w środku $S$, a $P$ — dowolnym punktem prostej $k$.

Przypadek szczególny. Jeśli $P=S$, to $|PA|=|PB|$ wprost z definicji środka odcinka.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ASP$ i $BSP$. Mają:

• $|AS|=|BS|$ — bo $S$ jest środkiem odcinka,
• kąty przy $S$ proste — bo symetralna jest prostopadła do $AB$,
• $|SP|$ — bok wspólny.

Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–kąt–bok, więc trójkąty $ASP$ i $BSP$ są przystające.

Krok 3 — wniosek. Odpowiadające sobie boki są równe:

$$|PA|=|PB| \qquad ∎$$

Twierdzenie odwrotne też zachodzi: jeśli punkt jest równo oddalony od $A$ i $B$, to leży na symetralnej odcinka $AB$. Dlatego mówimy, że symetralna to zbiór wszystkich takich punktów.