Statystyka i prawdopodobieństwo
Klasa 8 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 25
- Średnia arytmetyczna $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{\sum x_i}{n}$
- Mediana — wartość środkowa po posortowaniu danych. Dla parzystej liczby danych: średnia dwóch środkowych.
- Moda (dominanta) — wartość lub wartości występujące najczęściej w zbiorze.
- Średnia — gdy dane są równomiernie rozłożone, brak skrajnych wartości
- Mediana — gdy są wartości odstające (np. zarobki: kilka osób bardzo bogatych zawyża średnią)
- Moda — gdy szukasz "najpopularniejszego" (np. najczęstszy rozmiar buta w sklepie)
- Średnia: $\frac{2+4+4+6+8+10+100}{7} = \frac{134}{7} \approx 19{,}1$ (zawyżona przez 100!)
- Mediana: po sortowaniu środkowy to $6$ (lepiej oddaje "typową" wartość)
- Moda: $4$ (pojawia się 2 razy)
Diagram pudełkowy (boxplot) wizualizuje: minimum, $Q_1$, medianę, $Q_3$, maksimum (five-number summary).
Konstrukcja: pudełko od $Q_1$ do $Q_3$ (zawiera środkowe 50% danych); linia w środku = mediana; wąsy do min/max lub 1,5×IQR.
Punkty poza wąsami: wartości odstające (outliers).
Skośność: mediana bliżej $Q_1$ → skośność prawostronka; bliżej $Q_3$ → lewostronna.
Dane: 2, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 30. $Q_1=6$, $Me=9$, $Q_3=13{,}5$. Wartość 30 → outlier (>$Q_3+1{,}5\cdot7{,}5=24{,}75$).
Boxplot szybko ujawnia asymetrię i wartości odstające — jeden rzut oka na rozkład.
Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ — wrażliwa na wartości odstające.
Mediana $Me$: środkowa wartość w uporządkowanym ciągu — odporna na odstające.
Moda $Mo$: wartość najczęstsza — może nie być jedyna lub może nie istnieć.
Dla symetrycznych rozkładów: $\bar{x} = Me = Mo$.
Rozkład lewostronnie skośny: $Mo > Me > \bar{x}$; prawostronnie: $Mo \lt Me \lt \bar{x}$.
Dane: 2, 3, 3, 5, 7, 100: $\bar{x}=20$, $Me=4$, $Mo=3$. Outlier 100 "zawyża" średnią — mediana lepiej opisuje typową wartość.
Zarobki → użyj mediany (Bill Gates wchodzi do baru i średnia zarobków gwałtownie rośnie).
Silnia: $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$; $0!=1$; $1!=1$.
Permutacja: liczba porządków $n$ różnych elementów: $P_n=n!$
Permutacja $k$-elementowa (wariacja bez powtórzeń): $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$ i ustawiamy w kolejności.
Permutacje z powtórzeniami: $n$ elementów, gdzie $n_1$ jednakich, $n_2$ jednakich,…: $P=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}$
Np. litery słowa ROWER: $\frac{5!}{2!}=60$ (R powtarza się 2 razy).
Ile różnych 3-cyfrowych kodów z cyfr $\{1,2,3,4,5\}$ bez powtórzeń? $V_5^3=\frac{5!}{2!}=60$.
Ile ustawień liter słowa MATEMATYKA? $\frac{10!}{3!\cdot2!\cdot2!}=75600$ (M×3, A×2, T×2).
Kolejność MA znaczenie → permutacje/wariacje. Wzór: ile jest kodów PIN? $10^4$ z powtórzeniami, $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$ bez.
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba przypadków sprzyjających / liczba wszystkich równie możliwych.
Warunki: zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne, skończona przestrzeń.
$P(\emptyset)=0$, $P(\Omega)=1$, $P(A')=1-P(A)$.
Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Ogólnie: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Rzut dwiema kostkami. $A$ = suma = 7: pary $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Wyjęcie karty czerwonej lub króla: $P=\frac{26+4-2}{52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$.
Liczenie przypadków = kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje.
$\binom{n}{k}=C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba sposobów wyboru $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE ma znaczenia.
Czytamy: „$n$ nad $k$" lub „$n$ po $k$".
Własności: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$; $\binom{n}{1}=n$; $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Wzór Pascala: $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ (trójkąt Pascala).
Kombinacje z powtórzeniami: $\overline{C}_n^k=\binom{n+k-1}{k}$.
Komisja 3-osobowa z 7 kandydatów: $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\cdot4!}=35$ sposobów.
Loto 6/49: $\binom{49}{6}=13\,983\,816$ — tyle kombinacji (prawdopodobieństwo: $\approx1\text{ do }14$ mln).
Kombinacje vs permutacje: {A,B,C} i {B,C,A} to TA SAMA kombinacja, ale RÓŻNE permutacje. Klucz: „czy kolejność ma znaczenie?"
$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
$k$-ty wyraz (licząc od $k=0$): $W_k=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Trójkąt Pascala podaje współczynniki: wiersz $n$ to $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Wzory szczególne: $(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$; dla $x=1$: $2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$.
Suma modułów naprzemiennych: $(1-1)^n=0$ → $\sum(-1)^k\binom{n}{k}=0$.
$(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$; współczynnik przy $x^2$: $\binom{4}{2}\cdot1^2\cdot2^2=6\cdot4=24$.
$99^3=(100-1)^3=10^6-3\cdot10^4+3\cdot10^2-1=970299$.
Wyraz ogólny: $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ — potęgi sumują się do $n$. Szukasz wyrazu z $x^m$: ustaw wykładnik $x$ = $m$ i wyznacz $k$.
Reguła dodawania: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cap B)=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Reguła mnożenia: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$.
Zdarzenia niezależne: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
Prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ — prawdopodobieństwo $B$ pod warunkiem $A$.
Zdarzenie przeciwne: $P(\bar A)=1-P(A)$.
Dwie kostki: $P(\text{suma}\geq10)$: pary $(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)=6$ spośród $36$. $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Karta z talii 52: $P(\text{as lub kier})=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$.
OR → dodaj (odejmij część wspólną). AND → pomnóż. Niezależne zdarzenia: informacja o jednym NIE zmienia szansy drugiego.
$n$ niezależnych prób, każda z prawdopodobieństwem sukcesu $p$ (i porażki $q=1-p$).
Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$.
$X\sim B(n,p)$ — rozkład dwumianowy.
Wartość oczekiwana: $E(X)=np$.
Wariancja: $\text{Var}(X)=npq$; odchylenie: $\sigma=\sqrt{npq}$.
Zastosowanie: rzuty monetą, kontrola jakości, ankiety (tak/nie).
5 rzutów monetą, $P(\text{dokładnie 3 orły})=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^2=10\cdot\frac{1}{32}=\frac{5}{16}\approx31{,}25\%$.
Testy: 10 pytań, każde z $p=0{,}25$ na sukces. $E=10\cdot0{,}25=2{,}5$ poprawnych odpowiedzi.
Wymaga: $n$ prób niezależnych, stałe $p$, tylko 2 wyniki. Loto NIE spełnia warunku stałego $p$ (losowanie bez zwracania).
Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.
Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).
Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.
Wyznaczanie kwartyli: uporządkuj dane, podziel na cztery równe ćwiartki.
Wartości odstające (outliers): $x \lt Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ lub $x > Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$.
Dane: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12. $Q_1=4$, $Q_2=7$, $Q_3=10$. $IQR=6$. $R=10$.
$IQR$ jest odporny na wartości odstające; rozstęp — bardzo wrażliwy.
Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Zdarzenia zależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
$P(B|A)$ — prawdopodobieństwo warunkowe $B$ pod warunkiem $A$.
Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Dodawanie: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Urna: 4 białe, 3 czarne. Losujemy 2 bez zwracania. $P(\text{obie białe}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$.
Ze zwracaniem → niezależne; bez zwracania → zależne (skład urny się zmienia).
Permutacje (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń): $P_n = n!$
Wariacje z powtórzeniami: $W_n^k = n^k$
Wariacje bez powtórzeń: $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia): $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Ile słów z liter A,B,C,D? $P_4 = 24$. Ile 2-literowych? $V_4^2 = 12$. Ile par? $\binom{4}{2}=6$.
PIN 4-cyfrowy (0-9): $10^4 = 10000$ możliwości.
Pytanie kluczowe: czy kolejność ma znaczenie? (tak → wariacja/permutacja; nie → kombinacja).
- Porównywanie wyników z różnych miesięcy
- Zestawienie popularności produktów
- Wyniki głosowania lub ankiety
- Budżet domowy — gdzie idą pieniądze
- Skład produktu (białko, tłuszcz, cukier)
- Wyniki wyborów
- Rozkłady jazdy, cenniki, tabele kursów walut
- Wyniki sportowe, tabele ligowe
- Porównanie kilku cech naraz
- Temperatura dzienna lub roczna
- Postępy w nauce (wyniki testów)
- Zmiana masy lub wzrostu
- Średnia ocen w szkole
- Średnia temperatura miesiąca
- Średnia prędkość w podróży
- Mediana zarobków (odporna na skrajne wartości)
- Mediana cen nieruchomości
- Lepiej niż średnia gdy są duże skoki w danych
- Najpopularniejszy rozmiar butów w sklepie
- Najczęstsza odpowiedź w ankiecie
- Typowy czas przejazdu autobusem
- Gry planszowe i losowania
- Prognozowanie wyników sportowych
- Ubezpieczenia i ryzyko
- Wyznaczanie przestrzeni zdarzeń
- Liczenie kombinacji (ubrania, menu)
- Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych
• Zdarzenie niemożliwe: nigdy nie zachodzi, $P = 0$
• Zdarzenie losowe: może zajść lub nie, $0 < P \lt 1$
- Ocena prawdopodobieństwa zdarzeń
- Analiza ryzyka w decyzjach
- Gry i losowania
- Ankiety szkolne i badania opinii
- Pomiary naukowe
- Analiza wyników sportowych
- Klasyfikacja zwierząt (ssaki, zwierzęta wodne)
- Hobby uczniów (kto gra w piłkę I pływa)
- Logika i teoria zbiorów
Średnia arytmetyczna
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$
Sumujemy wszystkie dane i dzielimy przez ich liczbę. Każde wystąpienie liczy się osobno — dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$.
Zależność odwrotna
$$\text{suma}=\bar{x}\cdot n$$
Jeśli średnia trzech liczb wynosi $10$, ich suma to $30$. To bardzo częsty krok w zadaniach.
Diagramy
Słupkowy — porównywanie wielkości. Kołowy — udział części w całości; pełne koło to $360^\circ$, więc:
$$\text{procent}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%$$
Wycinek o kącie $90^\circ$ odpowiada $25\%$ całości.
Jak zmienia się średnia
Dołożenie liczby większej od dotychczasowej średniej podnosi ją, mniejszej — obniża. Liczba równa średniej nic nie zmienia.
Doświadczenia losowe
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le 1$$
Zdarzenie niemożliwe ma $P=0$ (np. wyrzucenie $7$ na kostce), pewne $P=1$.
Na co uważać
Średnia bywa myląca przy wartościach skrajnych — jedna bardzo duża liczba potrafi ją znacząco zawyżyć. Przy odczycie z diagramu zawsze sprawdź, czy oś zaczyna się od zera; przesunięta skala wyolbrzymia różnice.
∑Wzory 8
Liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
Przykład: Rzut kostką, wypadnie liczba parzysta: $P=\frac36=\frac12$.
Liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego (kolejność nie ma znaczenia).
Przykład: Wybór 2 osób z 6: $\binom{6}{2}=15$.
Miara rozproszenia danych wokół średniej.
Przykład: $\sigma^2=\frac83$: $\sigma=\sqrt{\frac83}\approx1{,}63$.
Liczba sposobów ustawienia $n$ różnych elementów w kolejności.
Przykład: 5 osób w kolejce: $5!=120$ ustawień.
Prawdopodobieństwo $A$, gdy wiemy, że zaszło $B$.
Przykład: Rzut kostką: szansa na 6, gdy wypadła liczba parzysta: $\frac{1/6}{1/2}=\frac13$.
Prawdopodobieństwo $k$ sukcesów w $n$ niezależnych próbach.
Przykład: Dokładnie 2 szóstki w 3 rzutach: $\binom32\left(\frac16\right)^2\cdot\frac56=\frac{15}{216}$.
Suma wartości podzielona przez ich liczbę.
Przykład: Oceny 4, 5, 3, 4: $\bar{x}=\frac{16}{4}=4$.
Każda wartość ma swoją wagę.
Przykład: Sprawdzian 5 (waga 3) i kartkówka 3 (waga 1): $\frac{15+3}{4}=4{,}5$.
🧩Quizy 2
✍Zadania dodatkowe 40
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz średnią arytmetyczną liczb: $4$, $7$, $10$, $3$.
Uczeń dostał oceny: $3$, $4$, $5$, $4$, $4$. Oblicz średnią oraz podaj dominantę.
Wyznacz medianę zestawu: $8$, $3$, $5$, $12$, $7$.
Wyznacz medianę zestawu: $10$, $4$, $6$, $2$.
Średnia pięciu liczb wynosi $12$. Ile wynosi ich suma?
Średnia czterech liczb wynosi $9$. Trzy z nich to $7$, $10$ i $8$. Jaka jest czwarta liczba?
W zestawie $2$, $3$, $3$, $4$, $100$ która miara najlepiej opisuje „typową” wartość?
W tabeli podano liczbę uczniów, którzy dostali daną ocenę: ocena $2$ — $3$ uczniów, ocena $3$ — $8$ uczniów, ocena $4$ — $6$ uczniów, ocena $5$ — $3$ uczniów. Ilu uczniów pisało sprawdzian i jaka jest dominanta ocen?
Korzystając z danych z poprzedniego zadania, oblicz średnią ocenę na sprawdzianie.
Na diagramie kołowym wycinek odpowiadający uczniom dojeżdżającym do szkoły ma kąt $72^\circ$. Jaki procent uczniów dojeżdża?
W szkole jest $250$ uczniów. Na diagramie kołowym wycinek „sport” obejmuje $36\%$. Ilu uczniów wybrało sport i jaki kąt ma ten wycinek?
Średnia wzrostu $10$ zawodników wynosi $180$ cm. Do drużyny dołączył zawodnik o wzroście $191$ cm. Jaka jest teraz średnia wzrostu?
Do zestawu $5$, $5$, $5$, $5$ dodano liczbę $5$. Jak zmieniła się średnia?
Zestaw danych to: $6$, $9$, $6$, $12$, $9$, $6$. Wyznacz średnią, medianę i dominantę.
Diagram słupkowy pokazuje sprzedaż w czterech miesiącach, ale oś pionowa zaczyna się od wartości $95$, a nie od zera. Jaki jest tego skutek?
Ośmiu uczniów zebrało kasztany: $12$, $15$, $9$, $20$, $15$, $11$, $15$, $23$ sztuki. Oblicz średnią i dominantę oraz podaj, ilu uczniów zebrało więcej niż średnia.
W pierwszej grupie $10$ uczniów średnia wyniku testu to $60$ punktów, a w drugiej grupie $15$ uczniów — $70$ punktów. Jaka jest średnia wszystkich $25$ uczniów?
Rzucamy jedną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej?
W worku jest $5$ kul czerwonych, $3$ niebieskie i $2$ zielone. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej oraz kuli, która nie jest czerwona.
Zestaw sześciu liczb ma średnią $10$. Po usunięciu jednej liczby średnia pozostałych pięciu wzrosła do $11$. Jaką liczbę usunięto?
Rzucamy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła?
Oblicz średnią arytmetyczną liczb: $12$, $15$, $9$, $20$.
W urnie jest $4$ kule czerwone i $6$ niebieskich. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej?
Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez $3$ wynosi:
W klasie zebrano oceny: $3$, $4$, $5$, $4$, $3$, $4$. Uporządkuj dane i podaj, która ocena wystąpiła najczęściej.
Zdarzenie o prawdopodobieństwie $1$ nazywamy:
Średnia ocen z pięciu prac wynosi $4$. Cztery oceny to $3$, $5$, $4$, $4$. Jaka jest piąta ocena?
W pudełku jest $5$ kul białych, $3$ czarne i $2$ zielone. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest biała.
Na diagramie kołowym wycinek odpowiadający $25\%$ danych ma kąt środkowy:
Rzucamy dwiema monetami. Wypisz wszystkie możliwe wyniki i oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie jednego orła.
Która miara najlepiej opisuje typowe zarobki, gdy w firmie kilka osób zarabia bardzo dużo, a większość — niewiele?
Losujemy jedną kartę z talii $52$ kart. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kiera oraz prawdopodobieństwo wylosowania figury (walet, dama, król).
W ankiecie $120$ uczniów wybierało ulubiony przedmiot. Matematykę wskazało $30$ osób. Jaki to procent i jaki kąt środkowy odpowiada temu na diagramie kołowym?
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi:
Wyznacz medianę i rozstęp zestawu: $7$, $3$, $9$, $5$, $11$, $3$.
Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
W szkole przeprowadzono ankietę wśród $200$ uczniów. Wyniki: rower $80$ osób, autobus $60$, pieszo $40$, samochód $20$. Oblicz procenty i kąty na diagramie kołowym oraz sprawdź, czy sumy się zgadzają.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru $\{1,2,\dots,20\}$. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest parzysta i jednocześnie podzielna przez $3$.
Gazeta pisze: „Sprzedaż wzrosła aż o $200\%$!”, a w tabeli widać wzrost z $50$ do $150$ sztuk. Czy nagłówek jest prawdziwy?
W klasie jest $12$ dziewcząt i $18$ chłopców. Średnia wzrostu dziewcząt to $160$ cm, a chłopców $172$ cm. Oblicz średni wzrost w całej klasie.
📄Zadania z arkuszy 17
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Na loterię przygotowano $72$ losy ponumerowane $1$–$72$. Wygrywają losy $1$–$9$ oraz $46$–$72$; pozostałe są puste. Ada wyciąga jeden los. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu pustego jest równe
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F − jeśli jest fałszywe:
Zima jest ulubioną porą roku dla mniej niż \(24\%\) liczby osób ankietowanych.
A -Prawda
B -Fałsz
Lato jest ulubioną porą roku dla \(\frac{3}{7}\) liczby osób ankietowanych.
C -Prawda
D -Fałsz
Które z podanych zdań jest fałszywe? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Oceń prawdziwość podanych zdań, dotyczących medali zdobytych przez reprezentację Polski podczas letnich igrzysk olimpijskich w latach 2004–2016. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Liczba zdobytych złotych medali stanowi więcej niż jedną trzecią liczby wszystkich zdobytych medali.
Podczas letnich igrzysk olimpijskich średnio zdobywano 3 złote medale.
Liczba zdobytych złotych medali stanowi więcej niż jedną trzecią liczby wszystkich zdobytych medali.
Podczas letnich igrzysk olimpijskich średnio zdobywano 3 złote medale.
Poniżej zapisano trzy prawdziwe informacje.
I. Ankietę oddało łącznie \(150\) uczniów.
II. W ankiecie wzięli udział wszyscy uczniowie klas ósmych.
III. Łącznie mniej niż połowa uczniów biorących udział w ankiecie zamierza kontynuować naukę w technikum lub w branżowej szkole.
Które z informacji - I, II, III - wynikają z analizy danych zamieszczonych w treści artykułu?
· \(30\%\) uczniów dojeżdża tramwajem (T),
· \(\frac{1}{4}\) uczniów - autobusem (A),
· co piąty - rowerem (R),
· a pozostali - samochodem (S).
Na którym diagramie przedstawiono wyniki tej ankiety?
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Średnia ocen z kartkówki w klasie 7a jest równa średniej ocen z tej kartkówki w klasie 7b.
Średnia ocen z kartkówki w obu klasach łącznie jest równa \(4\).
Średnia ocen z kartkówki w klasie 7a jest równa średniej ocen z tej kartkówki w klasie 7b.
Średnia ocen z kartkówki w obu klasach łącznie jest równa \(4\).
Sześciu spośród ankietowanych uprawia koszykówkę. Ilu uczniów gra w piłkę nożną?
Wśród wszystkich uczestników obozu \(28\%\) stanowili uczniowie z klas:
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Skoki trenuje więcej osób niż rzuty.
Biegi trenuje o \(10\) osób więcej niż skoki.
Skoki trenuje więcej osób niż rzuty.
Biegi trenuje o \(10\) osób więcej niż skoki.
Z informacji podanych na diagramie wynika, że:
Jaka część uczniów głosowała na Agatę?
Czy liczba wyprodukowanych krzeseł w roku 2016 była o \(100\%\) większa od liczby wyprodukowanych krzeseł w roku 2015?
Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C. A) drugi słupek na wykresie jest \(2\) razy wyższy od pierwszego.
B) liczba krzeseł wyprodukowanych w 2016 roku jest o \(40\%\) większa niż liczba krzeseł wyprodukowanych w 2015 roku.
C) w 2016 roku wyprodukowano o \(100\) krzeseł więcej niż w 2015 roku.
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.