Równania

1. $3x=18$, więc $x=6$.

Odpowiedź: $x=6$

1. $\dfrac{x}{4}=7$, więc $x=28$.

Odpowiedź: $x=28$

1. Brat ma $x+4$ lata, więc suma to $x+(x+4)=26$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? Sumujemy wiek Oli i brata, a brat jest starszy o $4$ lata.

1. $2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$.
2. 1. Rozwiązaniem jest liczba $11$ — prawda.
3. 2. Liczba $11$ nie jest mniejsza od $10$ — fałsz.

Odpowiedź: PF

1. Niech $x$ — liczba elementów jednego zestawu.
2. $\dfrac25x+\dfrac13x=440$, czyli $\dfrac{6x+5x}{15}=440$.
3. $\dfrac{11}{15}x=440 \Rightarrow x=440\cdot\dfrac{15}{11}=600$.

Odpowiedź: $600$ elementów

1. Niech $k$ — cena biletu do kina, wtedy teatr kosztuje $k+64$.
2. $4(k+64)+5k=400 \Rightarrow 4k+256+5k=400$.
3. $9k=144 \Rightarrow k=16$, więc bilet do teatru kosztuje $16+64=80$ zł.

Odpowiedź: $80$ zł

Wskazówka: Pytanie dotyczy teatru — łatwo podać przez pomyłkę cenę biletu do kina.

1. Niech $c$ — cena jednej puszki, a $P$ — pieniądze Ani.
2. $10c=P+11$ oraz $6c=P-9$.
3. Odejmując: $4c=20$, czyli $c=5$ zł (a Ania miała $39$ zł).

Odpowiedź: $5$ zł

1. Niech $d$ — liczba cukierków w drugim pudełku; w pierwszym jest $2d$.
2. $2d+d=84 \Rightarrow 3d=84 \Rightarrow d=28$.
3. W pierwszym: $2\cdot28=56$ cukierków.

Odpowiedź: $56$ i $28$

1. Niech $z$ — cena zeszytu; długopis kosztuje $z-1$.
2. $3z+2(z-1)=23 \Rightarrow 3z+2z-2=23$.
3. $5z=25 \Rightarrow z=5$, długopis: $5-1=4$ zł.

Odpowiedź: zeszyt $5$ zł, długopis $4$ zł

Przenosimy $7$ na prawą stronę (zmieniając znak):

$$x=12-7=5$$

Sprawdzenie: $5+7=12$ ✔

Odpowiedź: B. $5$.

Dzielimy obie strony przez $3$:

$$x=\frac{21}{3}=7$$

Sprawdzenie: $3\cdot7=21$ ✔

Odpowiedź: $x=7$.

Krok 1 — odejmujemy $5$ od obu stron:

$$2x=17-5=12$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=\frac{12}{2}=6$$

Sprawdzenie: $2\cdot6+5=17$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

Krok 1 — grupujemy niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej. Przenosimy $2x$ w lewo i $-3$ w prawo:

$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12$$

Krok 2 — dzielimy przez $3$:

$$x=4$$

Sprawdzenie: lewa $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$ ✔

Odpowiedź: C. $x=4$.

Mnożymy obie strony przez $4$:

$$x=5\cdot4=20$$

Sprawdzenie: $\frac{20}{4}=5$ ✔

Odpowiedź: $x=20$.

Sposób 1 — rozwijamy nawias:

$$3x-6=15 \quad\Rightarrow\quad 3x=21 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sposób 2 — najpierw dzielimy przez $3$:

$$x-2=5 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Drugi sposób jest szybszy, gdy prawa strona dzieli się przez współczynnik.

Sprawdzenie: $3(7-2)=3\cdot5=15$ ✔

Odpowiedź: $x=7$.

Rozwiązujemy $x+3=x+5$. Po odjęciu $x$ od obu stron:

$$3=5$$

Otrzymaliśmy fałsz — równanie jest sprzeczne, nie ma rozwiązań.

Pozostałe mają rozwiązania: B: $x=1$, C: $x=4$, D: $x=4$.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $3$:

$$x+1=12$$

Krok 2 — odejmujemy $1$:

$$x=11$$

Sprawdzenie: $\frac{11+1}{3}=\frac{12}{3}=4$ ✔

Odpowiedź: $x=11$.

Podstawiamy $x=3$ i sprawdzamy, gdzie równanie jest spełnione.

$$\text{D: } 4\cdot3-2=12-2=10 \ ✔$$

Pozostałe: A daje $6\neq3$, B daje $6\neq3$, C daje $-2\neq2$.

Odpowiedź: D. $4x-2=10$.

Krok 1 — oznaczamy liczbę przez $x$ i zapisujemy równanie:

$$x+8=23$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=23-8=15$$

Sprawdzenie: $15+8=23$ ✔

Odpowiedź: pomyślana liczba to $15$.

Dzielimy obie strony przez $-2$:

$$x=\frac{10}{-2}=-5$$

Uwaga na znak: dzielenie dodatniej liczby przez ujemną daje wynik ujemny.

Sprawdzenie: $-2\cdot(-5)=10$ ✔

Odpowiedź: B. $-5$.

Krok 1 — niewiadome w lewo, liczby w prawo:

$$4x-2x=11-3 \quad\Rightarrow\quad 2x=8$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=4$$

Sprawdzenie: lewa $4\cdot4+3=19$, prawa $2\cdot4+11=19$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, wtedy długość to $x+3$.

Krok 2 — równanie z obwodu:

$$2\big(x+(x+3)\big)=30$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2(2x+3)=30 \quad\Rightarrow\quad 4x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 4x=24 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Krok 4 — wymiary: szerokość $6$ cm, długość $6+3=9$ cm.

Sprawdzenie obwodu: $2(6+9)=30$ cm ✔

Odpowiedź: szerokość $6$ cm, długość $9$ cm.

Rozwijamy lewą stronę:

$$2x+6=2x+6$$

Obie strony są identyczne — równanie jest spełnione dla każdej liczby $x$. To równanie tożsamościowe.

Sprawdzenie: dla $x=0$: $6=6$ ✔; dla $x=5$: $16=16$ ✔ — pasuje zawsze.

Odpowiedź: C. nieskończenie wiele rozwiązań.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $3$:

$$2x=24$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=12$$

Sprawdzenie: $\frac{2\cdot12}{3}=\frac{24}{3}=8$ ✔

Odpowiedź: $x=12$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to szukana liczba lat. Za $x$ lat ojciec będzie miał $42+x$, a syn $12+x$.

Krok 2 — warunek (ojciec dwa razy starszy):

$$42+x=2(12+x)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$42+x=24+2x \quad\Rightarrow\quad 42-24=2x-x \quad\Rightarrow\quad x=18$$

Sprawdzenie: za $18$ lat ojciec $60$, syn $30$, a $60=2\cdot30$ ✔

Odpowiedź: za $18$ lat.

Krok 1 — przenosimy $x$ w prawo, a $3$ w lewo:

$$7-3=x \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $7-4=3$ ✔

Uwaga: gdy niewiadoma ma znak minus, wygodnie przenieść ją na drugą stronę, by uzyskać dodatni współczynnik.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to liczba jabłek w drugim koszyku, wtedy w pierwszym jest $3x$.

Krok 2 — równanie:

$$x+3x=48 \quad\Rightarrow\quad 4x=48 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Krok 3 — oba koszyki: drugi $12$ jabłek, pierwszy $3\cdot12=36$.

Sprawdzenie: $12+36=48$ ✔, a $36=3\cdot12$ ✔

Odpowiedź: pierwszy koszyk $36$ jabłek, drugi $12$.

Krok 1 — mnożymy na krzyż (wyrównanie mianowników):

$$5(x-1)=2(x+2)$$

Krok 2 — rozwijamy nawiasy:

$$5x-5=2x+4$$

Krok 3 — grupujemy:

$$5x-2x=4+5 \quad\Rightarrow\quad 3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: lewa $\frac{3-1}{2}=1$, prawa $\frac{3+2}{5}=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to cena biletu normalnego. Bilet ulgowy jest o $40\%$ tańszy, czyli kosztuje $0{,}6x$.

Krok 2 — równanie:

$$2x+3\cdot0{,}6x=84$$

Krok 3 — upraszczamy:

$$2x+1{,}8x=84 \quad\Rightarrow\quad 3{,}8x=84 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{84}{3{,}8}$$

Otrzymujemy $x\approx22{,}11$ zł — kwota nie jest okrągła, więc sprawdźmy rachunek: $2+1{,}8=3{,}8$ oraz $84:3{,}8\approx22{,}11$. Rachunek jest poprawny.

Odpowiedź: bilet normalny kosztuje $\frac{84}{3{,}8}\approx22{,}11$ zł.