Klasa 8 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0,1,2,3,4,5,6$ (np. $321$, $555$), jest
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.
Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).
Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.
Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.
Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.
Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:
$$9\cdot9\cdot8=648$$
Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.
Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:
$$5\cdot8\cdot8=320$$
Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$
Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.
Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.
Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.
Gdy wybór składa się z kolejnych etapów, liczby możliwości mnożymy.
Przykład: 3 bluzki i 4 spodnie: $3\cdot4=12$ zestawów.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile jest liczb całkowitych od $46$ do $72$ włącznie?
Mam $3$ koszulki i $4$ pary spodni. Na ile sposobów mogę się ubrać?
Ile trzycyfrowych kodów można ułożyć z cyfr $1$–$9$, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Rzucamy monetą i kostką. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
Ile jest dwucyfrowych liczb o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr $1$, $2$, $3$, $4$?
W restauracji są $4$ zupy, $6$ dań głównych i $3$ desery. Ile różnych trzydaniowych zestawów można zamówić?
Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wyników, w których suma oczek wynosi $7$?
Ile jest liczb trzycyfrowych o wszystkich różnych cyfrach?
Rzucamy monetą trzy razy. Ile jest wszystkich wyników, a ile takich, w których wypadną same orły?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $4$ różne książki?
Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych, w których cyfry mogą się powtarzać?
Kod składa się z dwóch liter (z $26$ dostępnych) i trzech cyfr. Ile jest możliwych kodów, jeśli znaki mogą się powtarzać?
Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$?
Z cyfr $1$, $2$, $3$ tworzymy wszystkie liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Ile ich jest?
Ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich różnych cyfrach, zaczynających się od cyfry $5$?
W klasie jest $12$ dziewcząt i $8$ chłopców. Wybieramy losowo jedną osobę do odpowiedzi. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania chłopca. Następnie oblicz, na ile sposobów można wybrać parę: jedną dziewczynę i jednego chłopca.
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których żadna cyfra się nie powtarza i które są nieparzyste?
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.