Procenty

$$0{,}15\cdot200=30$$

Szybciej: $10\%$ to $20$, $5\%$ to $10$, razem $30$.

Odpowiedź: C. $30$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}12\cdot250=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$250+30=280\ \text{zł}$$

Szybciej: $250\cdot1{,}12=280$ zł.

Odpowiedź: $280$ zł.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim):

$$6x-3-2x+8$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4x+5$$

Odpowiedź: $4x+5$.

$$4x-2x=5+9 \quad\Rightarrow\quad 2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sprawdzenie: lewa $28-9=19$, prawa $14+5=19$ ✔

Odpowiedź: A. $7$.

$$\sqrt{144}=12,\qquad \sqrt{25}=5$$

$$12-5=7$$

Uwaga: $\sqrt{144}-\sqrt{25}\neq\sqrt{144-25}=\sqrt{119}$ — pierwiastka z różnicy nie rozdziela się.

Odpowiedź: $7$.

Cena po obniżce to $80\%$ ceny pełnej:

$$48:0{,}8=60\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $60\cdot0{,}8=48$ zł ✔

Pułapka: dodanie $20\%$ do $48$ (czyli $57{,}60$) jest błędne.

Odpowiedź: D. $60$ zł.

Działamy na wykładnikach — dodajemy przy mnożeniu, odejmujemy przy dzieleniu:

$$2^{5+3-6}=2^2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$4\cdot5=20$$

Krok 2 — suma czterech znanych:

$$3+5+4+5=17$$

Krok 3 — piąta ocena:

$$20-17=3$$

Odpowiedź: piąta ocena to $3$.

$$c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$

To trójka $9$–$12$–$15$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $3$.

Odpowiedź: B. $15$.

Liczby mniejsze niż $3$ to $1$ i $2$ — są dwie z sześciu:

$$P=\frac{2}{6}=\frac13$$

Uwaga: „mniejsza niż $3$” nie obejmuje trójki.

Odpowiedź: $\frac13$.

Podnosimy do kwadratu licznik i mianownik:

$$\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}$$

Odpowiedź: C. $\frac{9}{16}$.

Krok 1 — koszt zeszytów:

$$3\cdot5=15\ \text{zł}$$

Krok 2 — koszt długopisów:

$$23-15=8\ \text{zł}$$

Krok 3 — cena jednego:

$$8:2=4\ \text{zł}$$

Odpowiedź: długopis kosztuje $4$ zł.

Objętość:

$$V=5\cdot4\cdot3=60\ \text{cm}^3$$

Pole powierzchni — trzy pary ścian:

$$P=2(5\cdot4)+2(5\cdot3)+2(4\cdot3)=40+30+24=94\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $V=60$ cm$^3$, $P=94$ cm$^2$.

$$\frac{20}{80}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: A. $25\%$.

Krok 1 — czas w godzinach. $15$ min $=0{,}25$ h:

$$t=2{,}25\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{36}{2{,}25}=16\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $16\cdot2{,}25=36$ km ✔

Odpowiedź: $16$ km/h.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Odpowiedź: D. $720^\circ$.

Przesuwamy przecinek w prawo, aż otrzymamy liczbę z przedziału od $1$ do $10$ — o $4$ miejsca, więc wykładnik jest ujemny:

$$0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$$

Kontrola: ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą od $1$ ✔

Odpowiedź: $4{,}2\cdot10^{-4}$.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$\frac47\cdot28=16$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$28-16=12$$

Krok 3 — procent chłopców:

$$\frac{12}{28}=\frac37\approx0{,}4286\approx42{,}9\%$$

Odpowiedź: $12$ chłopców, około $42{,}9\%$ klasy.

Krok 1 — objętość w metrach sześciennych:

$$V=12\cdot6\cdot1{,}5=108\ \text{m}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry. $1$ m$^3=1000$ litrów:

$$108\cdot1000=108\,000\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: $108\,000$ litrów.

Krok 1 — po podwyżce:

$$80\cdot1{,}25=100\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce (liczonej od $100$ zł):

$$100\cdot0{,}8=80\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie. Cena wróciła dokładnie do punktu wyjścia.

Dlaczego akurat tu wyszło równo: wzrost o $25\%$ mnoży przez $1{,}25$, a spadek o $20\%$ przez $0{,}8$, przy czym $1{,}25\cdot0{,}8=1$. To wyjątek — przy innych parach procentów cena zwykle nie wraca do początkowej.

Odpowiedź: $80$ zł — cena się nie zmieniła.