Pole powierzchni ostrosłupa

$$V=\frac13 P_p H=\frac13\cdot27\cdot8=72\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $72$ cm$^3$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=64\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole boczne:

$$P_b=4\cdot\frac{8\cdot5}{2}=4\cdot20=80\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — razem:

$$P=64+80=144\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $144$ cm$^2$.

$$V_{\text{ostr}}=\tfrac13 P_p H,\qquad V_{\text{gr}}=P_p H$$

Trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie taki graniastosłup.

Odpowiedź: B. trzy razy mniejsza.

Wysokość bryły $H$, połowa krawędzi podstawy ($6$ cm) i wysokość ściany bocznej ($10$ cm) tworzą trójkąt prostokątny, w którym apotema jest przeciwprostokątną:

$$H=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{cm}$$

Rozpoznanie: trójka $6$–$8$–$10$.

Odpowiedź: $8$ cm.

Z wzoru $V=\frac13 P_p H$ wyznaczamy pole podstawy:

$$P_p=\frac{3V}{H}=\frac{300}{12}=25\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie: $\frac13\cdot25\cdot12=100$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: $25$ cm$^2$.

Krok 1 — objętość:

$$V=\frac13\cdot36\cdot4=48\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — wysokość ściany bocznej. Tworzy ją trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $H=4$ i $\frac{a}{2}=3$:

$$h=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole boczne:

$$P_b=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole całkowite:

$$P=36+60=96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $V=48$ cm$^3$, $P=96$ cm$^2$.

Krok 1 — objętość sześcianu:

$$V_1=6^3=216\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — objętość ostrosłupa. Podstawa to kwadrat o polu $36$ cm$^2$, a wysokość równa krawędzi sześcianu, czyli $6$ cm:

$$V_2=\frac13\cdot36\cdot6=72\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — pozostała część:

$$216-72=144\ \text{cm}^3$$

Krok 4 — procent:

$$\frac{144}{216}=\frac23\approx66{,}7\%$$

Warto zauważyć: taki ostrosłup zawsze zajmuje dokładnie jedną trzecią sześcianu — to bezpośrednia konsekwencja współczynnika $\frac13$ we wzorze na objętość.

Odpowiedź: $144$ cm$^3$, czyli około $66{,}7\%$ sześcianu.

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości:

$$V=\frac13 P_p\cdot h$$

Odpowiedź: C.

$$V=\frac13\cdot12\cdot5=\frac13\cdot60=20$$

Odpowiedź: $20$.

$$P_p=6^2=36$$

Odpowiedź: $36$.

Liczba ścian bocznych ostrosłupa równa jest liczbie boków podstawy — czworokąt ma $4$ boki.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):

$$P_p=6^2=36$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\cdot36\cdot10=120$$

Odpowiedź: $120$.

$$P_c=P_p+P_b=25+60=85$$

Odpowiedź: $85$.

Trzy wierzchołki podstawy + jeden wierzchołek główny:

$$3+1=4$$

Odpowiedź: A. $4$.

Przekształcamy wzór $V=\frac13 P_p\cdot h$:

$$h=\frac{3V}{P_p}=\frac{3\cdot48}{12}=\frac{144}{12}=12$$

Odpowiedź: $12$.

Ściany boczne ostrosłupa to trójkąty o wspólnym wierzchołku.

Odpowiedź: D. trójkątami.

Krok 1 — jedna ściana boczna to trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$:

$$P_\triangle=\frac{8\cdot5}{2}=20$$

Krok 2 — są cztery jednakowe ściany:

$$P_b=4\cdot20=80$$

Odpowiedź: $80$.

Bo $V_{ostr}=\frac13 P_p h$, a $V_{gran}=P_p h$.

Odpowiedź: B. $\frac13$ objętości graniastosłupa.

$$V=\frac13\cdot9\cdot7=\frac{63}{3}=21$$

Odpowiedź: $21$.

Wzór na wysokość:

$$h=\frac{3V}{P_p}=\frac{3\cdot196}{49}=\frac{588}{49}=12$$

Odpowiedź: $12$.

„Prawidłowy” oznacza podstawę będącą wielokątem foremnym — dla trójkątnego to trójkąt równoboczny.

Odpowiedź: C. trójkąt równoboczny.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=10^2=100$$

Krok 2 — pole boczne (cztery trójkąty o podstawie $10$ i wysokości $13$):

$$P_b=4\cdot\frac{10\cdot13}{2}=4\cdot65=260$$

Krok 3 — pole całkowite:

$$P_c=P_p+P_b=100+260=360$$

Odpowiedź: $360$.

Cztery krawędzie podstawy + cztery krawędzie boczne:

$$4+4=8$$

Odpowiedź: A. $8$.

Krok 1 — model. Apotema łączy wierzchołek ostrosłupa ze środkiem krawędzi podstawy. Tworzy trójkąt prostokątny z wysokością ostrosłupa i połową boku podstawy.

Krok 2 — połowa boku: $\frac{12}{2}=6$.

Krok 3 — twierdzenie Pitagorasa:

$$m=\sqrt{h^2+\left(\tfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Odpowiedź: apotema $10$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=3\cdot3=9\ \text{m}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\cdot9\cdot2=6\ \text{m}^3$$

Odpowiedź: $6$ m³.

Krok 1 — objętości (wspólna wysokość $h$):

$$V_1=\frac13\cdot10\cdot h,\qquad V_2=\frac13\cdot30\cdot h$$

Krok 2 — iloraz:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{30}{10}=3$$

Wniosek. Przy tej samej wysokości objętość jest wprost proporcjonalna do pola podstawy.

Odpowiedź: $3$ razy większa.

Krok 1 — ogólny wzór na objętość ostrosłupa:

$$V=\frac13 P_p\cdot h$$

Krok 2 — pole podstawy. Podstawą jest kwadrat o boku $a$, więc $P_p=a^2$.

Krok 3 — podstawiamy:

$$V=\frac13\cdot a^2\cdot h=\frac13 a^2 h \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $a=6$, $h=10$: $V=\frac13\cdot36\cdot10=120$ — zgodnie z zad. 5 ✔