Ostrosłupy

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie ten ostrosłup i zaznaczmy w nim najistotniejsze długości które potem przydadzą nam się do obliczenia pożądanych wartości.


Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
Skoro pole powierzchni całkowitej wynosi \(144cm^2\) z czego pole powierzchni bocznej jest równe \(80cm^2\), to znaczy że pole podstawy jest równe:
$$144cm^2-80cm^2=64cm^2$$

Krok 3. Obliczenie krawędzi podstawy.
Z treści zadania wiemy, że jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, a skoro tak, to w jego podstawie znajduje się kwadrat. My o tym kwadracie wiemy już to, że jego pole powierzchni jest równe \(64cm^2\), zatem krawędź tego kwadratu ma długość:
$$P=a^2$$ $$64cm^2=a^2$$ $$a=8cm$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Spróbujmy teraz obliczyć wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej ostrosłupa. Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest równe \(80cm^2\), a skoro powierzchnię boczną tworzą cztery jednakowe trójkąty, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$80cm^2:4=20cm^2$$

Wiemy więc, że trójkąt będący ścianą boczną ma długość podstawy \(a=8cm\), wiemy też że jego pole powierzchni jest równe \(20cm^2\), więc bez przeszkód obliczymy wysokość tego trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$20cm^2=\frac{1}{2}\cdot8cm\cdot h$$ $$20cm^2=4cm\cdot h$$ $$h=5cm$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa.


W ścianach bocznych naszego ostrosłupa znajdują się trójkąty równoramienne, więc wysokość podzieliła nam podstawę na dwie równe części. To pozwala nam na obliczenie długości krawędzi bocznej (czyli długości \(b\)) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$4^2+5^2=b^2$$ $$16+25=b^2$$ $$b^2=41$$ $$b=\sqrt{41}[cm]$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic rysunku z zaznaczeniem informacji podanych w treści zadania.


Bardzo ważne jest tutaj dostrzeżenie odcinka \(OE\). Ma on długość równą połowie długości krawędzi bocznej, czyli \(10:2=5\).

Krok 2. Wyznaczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia zużycia papieru potrzebujemy znać pole powierzchni całkowitej naszej bryły. Pole powierzchni całkowitej bryły będzie równe sumie pola podstawy (to możemy wyliczyć bez przeszkód) oraz czterech ścian bocznych, których znamy tylko długość podstawy. Musimy więc jeszcze poznać wysokość ściany bocznej (zaznaczonej na rysunku jako \(h\)), tak aby móc obliczyć pole powierzchni bocznej, której nam póki co brakuje. Tę długość obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+12^2=h^2$$ $$25+144=h^2$$ $$h^2=169$$ $$h=13[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt, którego podstawa ma długość \(10\), a wysokość jest równa \(13\). Pole takiego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h$$ $$P=\frac{1}{2}10cm\cdot13cm$$ $$P=65cm^2$$

Z racji tego iż mamy cztery takie trójkąty, bo są cztery ściany boczne, to pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot65cm^2=260cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat o boku \(10cm\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{p}=10cm\cdot10cm=100cm^2$$

Krok 5. Obliczenie zużycia papieru.
Pole powierzchni całkowitej jest równe:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b}$$ $$P_{c}=100cm^2+260cm^2$$ $$P_{c}=360cm^2$$

To jednak nie wszystko, bo musimy uwzględnić zakładki, co zgodnie z treścią zadania zwiększa nam zużycie papieru o \(5\%\). Na same zakładki zużyjemy więc:
$$0,05\cdot360cm^2=18cm^2$$

Łącznie więc potrzebujemy:
$$360cm^2+18cm^2=378cm^2$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.


Wiemy, że ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym. To oznacza, że w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny. Z rysunku możemy od razu odczytać, że długość boku tego trójkąta znajdującego się w podstawie jest równa \(2cm\) (patrz rysunek), a skoro tak, to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\sqrt{3}[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia pola powierzchni całkowitej potrzebujemy znać jeszcze pola ściany bocznej. Aby ją obliczyć musimy poznać wysokość trójkąta i tu skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa oraz z własności trójkątów równoramiennych, która mówi nam że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części.


Z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$1^2+h^2=7^2$$ $$1+h^2=49$$ $$h^2=48$$ $$h=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy już, że w ścianie bocznej znajduje się trójkąt o podstawie \(2cm\) oraz wysokości \(4\sqrt{3}cm\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\sqrt{3}$$ $$P_{b}=1\cdot4\sqrt{3}$$ $$P_{b}=4\sqrt{3}[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składają się jedna podstawa oraz trzy ściany boczne, zatem:
$$P_{c}=P_{p}+3P_{b}$$ $$P_{c}=\sqrt{3}+3\cdot4\sqrt{3}$$ $$P_{c}=\sqrt{3}+12\sqrt{3}$$ $$P_{c}=13\sqrt{3}[cm^2]$$