Nierówność trójkąta

Korzystamy z nierówności trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

$$3+4=7$$

Ponieważ $7\lt 8$, warunek nie jest spełniony — takiego trójkąta zbudować się nie da.

Odpowiedź: nie, bo $3+4\lt 8$.

Sprawdzamy nierówność trójkąta dla każdego zestawu (suma dwóch mniejszych > największy):

$$\text{D: } 4+5=9>6 \ ✔$$

Pozostałe zawodzą: A ($2+3=5\lt 6$), B ($1+2=3$, nie większe), C ($1+3=4\lt 5$).

Odpowiedź: D. $4,\,5,\,6$.

Krok 1 — obwód:

$$x+(x+2)+(x+4)=18 \quad\Rightarrow\quad 3x+6=18 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Krok 2 — boki:

$$4,\qquad 6,\qquad 8$$

Krok 3 — nierówność trójkąta. Sprawdzamy sumę dwóch krótszych:

$$4+6=10>8 \ ✔$$

Warunek jest spełniony, więc taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: boki $4$, $6$, $8$; nierówność trójkąta jest spełniona.

Sprawdzamy nierówność trójkąta — suma dwóch krótszych musi przewyższać najdłuższy:

$$4+5=9\lt 10$$

Warunek nie jest spełniony.

Odpowiedź: nie, takiego trójkąta zbudować się nie da.

Warunek górny. Trzeci bok musi być krótszy od sumy pozostałych:

$$x\lt 7+9=16$$

Warunek dolny. Musi być dłuższy od ich różnicy:

$$x>9-7=2$$

$$2\lt x\lt 16$$

Odpowiedź: trzeci bok mieści się między $2$ a $16$.

Sprawdzamy warunek „suma dwóch krótszych $>$ najdłuższy”:

• $2+3=5\lt 6$ ✘
• $6+8=14>11$ ✔
• $1+2=3=3$ ✘ (równość to za mało — wyszedłby odcinek, nie trójkąt)
• $4+4=8\lt 9$ ✘

Odpowiedź: B. $6$, $8$, $11$.

Krok 1 — oznaczenia. Podstawa to $x$, każde ramię $x+2$.

Krok 2 — równanie:

$$x+2(x+2)=40$$

$$3x+4=40 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Krok 3 — boki: podstawa $12$ cm, ramiona po $14$ cm.

Krok 4 — sprawdzenie obwodu: $12+14+14=40$ cm ✔

Krok 5 — nierówność trójkąta:

$$12+14=26>14 \ ✔,\qquad 14+14=28>12 \ ✔$$

Odpowiedź: podstawa $12$ cm, ramiona po $14$ cm; trójkąt istnieje.