Klasa 8 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych, np. $3x^2y$. Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2-5x+1$. Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem nazywamy podobnymi — można je redukować: $3x+5x=8x$.
Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Przykład: $(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn — o nim najczęściej się zapomina.
$(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Łatwo to sprawdzić na liczbach: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się na czynniki.
Co robi: usuwa nawiasy w iloczynie dwóch sum — każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego.
Elementy: $a, b$ — składniki pierwszej sumy, $c, d$ — drugiej. Powstają cztery iloczyny; potem redukujemy wyrazy podobne.
Przykład: $(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$.
Pułapka: pilnuj znaków. $(x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$ — iloczyn dwóch liczb ujemnych daje wyraz dodatni.
Wykonaj mnożenie: $(x+3)(x-2)$.
Wynikiem mnożenia $(x+2)(x+3)$ jest:
Rozwiń wzór skróconego mnożenia: $(2x-5)^2$.
Wykonaj mnożenie $(a+4)(a-4)$.
Rozłóż na czynniki: $x^2-49$.
Punkt $A=(3,\,5)$ odbito symetrycznie względem osi $OY$. Podaj współrzędne obrazu.
Oblicz sprytnie, bez kalkulatora: $102^2$.
Ile osi symetrii ma prostokąt, który nie jest kwadratem?
Uprość wyrażenie: $(x+4)^2-(x-4)^2$.
Wykonaj mnożenie $(x-1)(x+5)$.
Oblicz wartość wyrażenia $3x^2-5x+1$ dla $x=-2$.
Która figura ma środek symetrii?
Rozwiąż równanie: $2(x-3)=x+5$.
Wykonaj mnożenie $(2x+3)(x-4)$.
Rozwiąż równanie: $\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=5$.
Punkt $B=(-4,\,7)$ odbito symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Podaj współrzędne obrazu i sprawdź wynik.
Równanie $2x+3=2x+5$:
Wyrażenie $(x+3)^2$ jest równe:
Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi $72$. Znajdź te liczby.
Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny, a ile trójkąt równoramienny (niebędący równobocznym)?
Obwód prostokąta wynosi $46$ cm, a jeden bok jest o $5$ cm dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków.
Wynikiem mnożenia $(a-3)(a-5)$ jest:
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: $12x+18$.
Zaznacz na osi liczbowej i porównaj: $-3$, $1{,}5$, $-\frac{1}{2}$, $0$.
Przekształć wzór na pole trapezu $P=\frac{(a+b)h}{2}$ tak, aby wyznaczyć wysokość $h$.
Wykonaj mnożenie $(x+2)(x^2-3)$.
Ojciec ma $36$ lat, a syn $8$ lat. Za ile lat ojciec będzie dokładnie trzy razy starszy od syna?
Ile osi symetrii ma koło?
Które wyrażenie jest równe $(a+b)^2$?
Wykorzystaj wzór na różnicę kwadratów, aby obliczyć $98\cdot102$.
Zredukuj wyrazy podobne: $5a^2-3a+2a^2+7a-4$.
Punkt $(5,-2)$ po odbiciu względem osi $OX$ przechodzi na:
W klasie jest o $6$ więcej dziewczynek niż chłopców. Razem jest $30$ uczniów. Ilu jest chłopców, a ile dziewczynek?
Wykonaj mnożenie i uprość: $(x+3)(x-2)-(x+1)(x-1)$.
Rozwiąż równanie: $3(x+2)-2(x-1)=15$.
Zapisz wyrażeniem pole prostokąta o bokach $(x+3)$ i $(x+1)$, a następnie oblicz, o ile jest ono większe od pola kwadratu o boku $x$.
Pole prostokąta wyraża się wzorem $P=(x+3)(x+1)$. Zapisz je w postaci sumy algebraicznej i oblicz pole dla $x=4$.
Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,\,2)$, $B=(4,\,2)$, $C=(4,\,6)$. Odbij go symetrycznie względem osi $OX$ i podaj współrzędne obrazu. Czy pole się zmieniło?
Wykaż, że wyrażenie $(n+1)^2-(n-1)^2$ jest podzielne przez $4$ dla każdej liczby naturalnej $n$.
Wykaż, że wyrażenie $(x+1)(x+3)-(x+2)^2$ ma tę samą wartość dla każdego $x$. Podaj tę wartość.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.