Mnożenie sum algebraicznych

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej:

$$x\cdot x+x\cdot3+2\cdot x+2\cdot3=x^2+3x+2x+6$$

$$=x^2+5x+6$$

Najczęstszy błąd: pominięcie wyrazów mieszanych i zapisanie $x^2+6$.

Odpowiedź: B. $x^2+5x+6$.

$$a^2-4a+4a-16=a^2-16$$

Wyrazy mieszane się znoszą — to wzór na różnicę kwadratów:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Odpowiedź: $a^2-16$.

$$x^2+5x-x-5=x^2+4x-5$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $1\cdot7=7$, a po wymnożeniu $4+8-5=7$ ✔

Odpowiedź: $x^2+4x-5$.

Mnożymy każdy z każdym:

$$2x\cdot x=2x^2$$

$$2x\cdot(-4)=-8x$$

$$3\cdot x=3x$$

$$3\cdot(-4)=-12$$

Po redukcji:

$$2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12$$

Odpowiedź: $2x^2-5x-12$.

$$(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $(1+3)^2=16$, a $1+6+9=16$ ✔ Natomiast $x^2+9$ dałoby $10$.

Odpowiedź: D. $x^2+6x+9$.

$$a^2-5a-3a+15=a^2-8a+15$$

Uwaga na znaki: iloczyn dwóch liczb ujemnych ($-3$ i $-5$) daje wynik dodatni, stąd $+15$.

Odpowiedź: B. $a^2-8a+15$.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$x\cdot x^2=x^3$$

$$x\cdot(-3)=-3x$$

$$2\cdot x^2=2x^2$$

$$2\cdot(-3)=-6$$

Porządkujemy według malejących potęg:

$$x^3+2x^2-3x-6$$

Uwaga: nie ma tu wyrazów podobnych, więc nic się nie redukuje.

Odpowiedź: $x^3+2x^2-3x-6$.

Krok 1 — zauważamy symetrię wokół $100$:

$$98=100-2,\qquad 102=100+2$$

Krok 2 — stosujemy wzór:

$$(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10\,000-4=9996$$

Zaleta metody: rachunek w pamięci zamiast mnożenia pisemnego.

Odpowiedź: $9996$.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$$

Krok 2 — drugi iloczyn (różnica kwadratów):

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$

Krok 3 — odejmujemy, pamiętając o znaku:

$$\left(x^2+x-6\right)-\left(x^2-1\right)=x^2+x-6-x^2+1=x-5$$

Sprawdzenie dla $x=3$: wyjściowo $6\cdot1-4\cdot2=6-8=-2$, a po uproszczeniu $3-5=-2$ ✔

Odpowiedź: $x-5$.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=(x+3)(x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — pole kwadratu:

$$P_2=x^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P_1-P_2=4x+3$$

Sprawdzenie dla $x=2$: prostokąt $5\times3=15$, kwadrat $4$, różnica $11$. Ze wzoru: $4\cdot2+3=11$ ✔

Odpowiedź: $P_1=x^2+4x+3$; jest większe o $4x+3$.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+1)(x+3)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — kwadrat sumy:

$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$

Krok 3 — odejmujemy:

$$\left(x^2+4x+3\right)-\left(x^2+4x+4\right)=3-4=-1$$

Wniosek. Wyrazy z $x^2$ i z $x$ znoszą się nawzajem, więc po uproszczeniu zostaje sama liczba — wartość wyrażenia nie zależy od $x$. ∎

Sprawdzenie na trzech wartościach:

• $x=0$: $1\cdot3-4=-1$ ✔
• $x=1$: $2\cdot4-9=-1$ ✔
• $x=5$: $6\cdot8-49=-1$ ✔

Uwaga metodyczna: podstawienie kilku liczb potwierdza wynik, ale dowodem jest przekształcenie z kroków $1$–$3$, bo działa dla każdego $x$.

Odpowiedź: wartość zawsze wynosi $-1$.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6$$

$$=x^2+x-6$$

Odpowiedź: A.

Korzystamy z $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ dla $a=2x$, $b=5$:

$$(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+5^2$$

$$=4x^2-20x+25$$

Odpowiedź: $4x^2-20x+25$.

Uwaga: $(2x)^2=4x^2$, a nie $2x^2$ — kwadratujemy również współczynnik.

To różnica kwadratów: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dla $a=x$, $b=7$:

$$x^2-49=(x-7)(x+7)$$

Odpowiedź: C.

Zapisujemy jako kwadrat sumy:

$$102^2=(100+2)^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2$$

$$=10\,000+400+4=10\,404$$

Odpowiedź: $10\,404$.

Metoda 1 — różnica kwadratów. Traktujemy całe nawiasy jako $a$ i $b$:

$$[(x+4)-(x-4)]\cdot[(x+4)+(x-4)]=8\cdot 2x=16x$$

Metoda 2 — rozwinięcie:

$$(x^2+8x+16)-(x^2-8x+16)=16x$$

Odpowiedź: $16x$.

$$3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+1$$

$$=3\cdot4+10+1=12+10+1=23$$

Odpowiedź: B.

Uwaga na znaki: $(-2)^2=4$ (dodatnie), a $-5\cdot(-2)=+10$.

Krok 1 — usuwamy nawias:

$$2x-6=x+5$$

Krok 2 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$2x-x=5+6$$

$$x=11$$

Sprawdzenie: lewa strona $2(11-3)=16$, prawa $11+5=16$. ✔

Odpowiedź: $x=11$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $6$ (wspólny mianownik):

$$2x+x=30$$

Krok 2:

$$3x=30 \quad\Rightarrow\quad x=10$$

Sprawdzenie: $\frac{10}{3}+\frac{10}{6}=\frac{20+10}{6}=5$. ✔

Odpowiedź: $x=10$.

Odejmujemy $2x$ od obu stron:

$$3=5$$

Otrzymaliśmy fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań — jest sprzeczne.

Odpowiedź: D. Gdyby wyszło np. $3=3$, równanie byłoby tożsamościowe i spełniała je każda liczba.

Krok 1 — oznaczenie. Niech pierwsza liczba to $x$, wtedy kolejne to $x+1$ i $x+2$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+1)+(x+2)=72$$

$$3x+3=72 \quad\Rightarrow\quad 3x=69 \quad\Rightarrow\quad x=23$$

Odpowiedź: liczby to $23$, $24$, $25$.

Sprawdzenie: $23+24+25=72$. ✔

Krok 1 — oznaczenie. Krótszy bok: $x$, dłuższy: $x+5$.

Krok 2 — równanie z obwodu:

$$2\big(x+(x+5)\big)=46$$

$$2(2x+5)=46 \quad\Rightarrow\quad 4x+10=46$$

$$4x=36 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Odpowiedź: boki mają $9$ cm i $14$ cm.

Sprawdzenie: $2(9+14)=46$. ✔

Największy wspólny dzielnik liczb $12$ i $18$ to $6$:

$$12x+18=6(2x+3)$$

Odpowiedź: A. Odpowiedź C jest poprawna rachunkowo, ale nie wyłącza największego wspólnego czynnika.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $2$:

$$2P=(a+b)h$$

Krok 2 — dzielimy przez $(a+b)$:

$$h=\frac{2P}{a+b}$$

Odpowiedź: $h=\frac{2P}{a+b}$ (przy $a+b\ne0$).

Krok 1 — oznaczenie. Niech szukana liczba lat to $x$. Za $x$ lat ojciec będzie miał $36+x$, a syn $8+x$.

Krok 2 — równanie:

$$36+x=3(8+x)$$

$$36+x=24+3x$$

$$12=2x \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Odpowiedź: za $6$ lat.

Sprawdzenie: ojciec $42$, syn $14$, a $42=3\cdot14$. ✔

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Odpowiedź: B.

Sprawdź na liczbach, dlaczego A jest błędne: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Brakuje właśnie członu $2ab=12$.

Grupujemy wyrazy tego samego typu:

$$(5a^2+2a^2)+(-3a+7a)-4$$

$$=7a^2+4a-4$$

Odpowiedź: $7a^2+4a-4$.

Uwaga: $a^2$ i $a$ to nie są wyrazy podobne — nie wolno ich łączyć.

Krok 1 — oznaczenie. Chłopcy: $x$, dziewczynki: $x+6$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+6)=30$$

$$2x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 2x=24 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Odpowiedź: $12$ chłopców i $18$ dziewczynek.

Sprawdzenie: $18-12=6$ oraz $12+18=30$. ✔

Krok 1 — usuwamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim!):

$$3x+6-2x+2=15$$

Krok 2 — redukcja:

$$x+8=15 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Odpowiedź: $x=7$.

Najczęstszy błąd: zapisanie $-2(x-1)$ jako $-2x-2$. Minus zmienia znaki obu składników: $-2x+2$.

Krok 1 — rozwinięcie:

$$(x+3)(x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — wartość dla $x=4$:

$$4^2+4\cdot4+3=16+16+3=35$$

Odpowiedź: $P=x^2+4x+3$, a dla $x=4$ pole wynosi $35$.

Sprawdzenie: $(4+3)(4+1)=7\cdot5=35$. ✔

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)$$

Krok 2 — redukcja:

$$=n^2+2n+1-n^2+2n-1=4n$$

Wniosek: wyrażenie równa się $4n$, czyli jest iloczynem liczby $4$ i liczby naturalnej $n$. Zatem jest podzielne przez $4$ dla każdego $n$. ∎

Uwaga: w zadaniach „wykaż, że" nie wystarczy sprawdzić kilku liczb — trzeba przeprowadzić przekształcenie ogólne, jak wyżej.