Graniastosłupy

Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie ostrosłupa i graniastosłupa.
Ostrosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(n+1\) wierzchołków (np. ostrosłup mający w podstawie pięciokąt będzie miał \(5+1=6\) wierzchołków).
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(2n\) wierzchołków (np. graniastosłup mający w podstawie pięciokąt będzie miał \(2\cdot5=10\) wierzchołków).

Z treści zadania wynika, że suma wierzchołków jest równa \(25\), czyli możemy ułożyć równanie:
$$n+1+2n=25$$ $$n+2n=24$$ $$3n=24$$ $$n=8$$

To oznacza, że w podstawie mamy ośmiokąt.

Krok 2. Obliczenie ilości wierzchołków ostrosłupa.
Zgodnie z tym co sobie na początku napisaliśmy, skoro w podstawie ostrosłupa jest ośmiokąt, to będzie miał on \(8+1=9\) wierzchołków.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie tej bryły znajduje się trójkąt równoboczny. To bardzo ważna informacja, bowiem dzięki niej wiemy, że trójkąt z naszej siatki jest na pewno równoboczny, a to oznacza że możemy obliczyć długość jego boku. W tym celu skorzystamy ze wzoru \(P=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Mamy podane, że pole tego trójkąta jest równe \(P=16\sqrt{3}cm^2\), zatem podstawiając tę informację do naszego wzoru otrzymamy równanie:
$$\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/\cdot4$$ $$a^2\cdot\sqrt{3}=64\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/:\sqrt{3}$$ $$a^2=64cm^2$$ $$a=8cm$$

To oznacza, że trójkąt z naszej siatki ma wszystkie boki równe \(8cm\).

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
W ścianie bocznej mamy prostokąt. Jedna z długości tego prostokąta pokrywa się z długością krawędzi trójkąta, czyli wiemy że ma ona długość \(a=8cm\). Musimy obliczyć teraz długość drugiego boku tego prostokąta, który będzie tak naprawdę wysokością całego graniastosłupa. Tę długość obliczymy korzystając z informacji o polu powierzchni. W ścianie bocznej jest prostokąt o polu \(24\sqrt{3}cm^2\), zatem:
$$a\cdot b=24\sqrt{3}cm^2$$ $$8cm\cdot b=24\sqrt{3}cm^2$$ $$b=3\sqrt{3}cm$$

Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Do obliczenia objętości graniastosłupa potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły. Pole podstawy już znamy, bo jest to po prostu pole naszego trójkąta, czyli \(16\sqrt{3}cm^2\), a wysokość to obliczone przed chwilą \(3\sqrt{3}cm\). Zatem:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=16\sqrt{3}cm^2 \cdot 3\sqrt{3}cm$$ $$V=48\cdot3cm^3$$ $$V=144cm^3$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy i pola podstawy pierwszego graniastosłupa.
Na początku obliczmy z rysunku długość krawędzi podstawy pierwszego graniastosłupa. Będzie ono równe:
$$a=28cm:4=7cm$$

Znając długość krawędzi podstawy możemy obliczyć pole powierzchni graniastosłupa. Wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (wynika to z faktu, że graniastosłup jest prawidłowy czworokątny). To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2$$ $$P_{p}=7^2$$ $$P_{p}=49[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie objętości pierwszego graniastosłupa.
Objętość graniastosłupa wyliczymy ze wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

Pole podstawy jest już nam znane (\(P_{p}=49cm^2\)), wysokość bryły możemy odczytać z rysunku (\(H=12cm\)), zatem objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V_{1}=49\cdot12$$ $$V_{1}=588[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi bocznej i pola podstawy drugiego graniastosłupa.
Długość krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa jest równa:
$$a=12cm:4=3cm$$

To oznacza, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2$$ $$P_{p}=3^2$$ $$P_{p}=9[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie objętości drugiego graniastosłupa.
Skoro \(P_{p}=9cm\) oraz \(H=28cm\), to objętość drugiego ostrosłupa będzie równa:
$$V_{2}=P_{p}\cdot H$$ $$V_{2}=9\cdot28$$ $$V_{2}=252[cm^3]$$

Krok 5. Obliczenie różnicy objętości między pierwszym i drugim graniastosłupem.
Znając objętość jednego i drugiego graniastosłupa możemy obliczyć różnicę tych objętości:
$$V_{1}-V_{2}=588cm^3-252cm^3=336cm^3$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść znane nam miary długości na nasz rysunek. Nanieśmy też sobie od razu informację gdzie w tej siatce znajduje się wysokość graniastosłupa, bo ona będzie nam potrzebna do obliczenia objętości.


Skrzydełka na górze i na dole siatki są trójkątami prostokątnymi, który znajduje się w podstawie. Skąd jednak wiemy, że boki o długości \(12cm\) oraz \(13cm\) są podpisane dobrze, a nie np. w odwrotnej kolejności? Faktycznie nie jest to zapisane wprost który bok ma jaką długość, ale my wiemy, że długości \(12cm\) oraz \(13cm\) to najdłuższe boki trójkąta prostokątnego. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna, stąd wiemy, że to ona ma konkretnie \(13cm\).

Krok 2. Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z treści zadania wiemy, że dwa boki trójkąta znajdującego się w podstawie mają długość \(12cm\) oraz \(13cm\). Możemy więc z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć trzecią długość:
$$x^2+12^2=13^2$$ $$x^2+144=169$$ $$x^2=25$$ $$x=5[cm]$$

To oznacza, że krótsza przyprostokątna (czyli najkrótsza krawędź podstawy graniastosłupa) ma długość \(5cm\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia wysokości graniastosłupa. Jak ją wyznaczymy? Skorzystamy tutaj z tego iż zacieniowaną figurą jest trapez o polu powierzchni równym \(168cm^2\). Dolna podstawa trapezu zgodnie z rysunkiem ma długość \(5+h+5=10+h\), natomiast górna podstawa ma długość \(h\). Wysokość trapezu jest równa \(12cm\). To oznacza, że \(h\) jest już jedyną niewiadomą, zatem wyznaczymy ją w prosty sposób:
$$168=\frac{1}{2}(10+h+h)\cdot12$$ $$168=(2h+10)\cdot6$$ $$168=12h+60$$ $$108=12h$$ $$h=9[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy trójkąt prostokątny o podstawie \(12cm\) i wysokości \(5cm\). Pole podstawy będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5$$ $$P_{p}=6\cdot5$$ $$P_{p}=30[cm^2]$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy już wszystkie dane. Pole podstawy jest równe \(30cm^2\), wysokość bryły wynosi \(9cm\), zatem objętość wynosi:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=30cm^2\cdot9cm$$ $$V=270cm^3$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie nasz graniastosłup ma trójkąt równoboczny (wystarczy sobie odwrócić tę bryłę) o boku \(3cm\). Zgodnie ze wzorem na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa jest następujący:
$$\require{cancel}
V=P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{9\sqrt{3}}{\cancel{4}}\cdot \cancel{4}\sqrt{2}$$ $$V=9\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}$$ $$V=9\sqrt{6}$$

Krok 1. Obliczenie wysokości dużego wału (świeżo usypanego).
Zgodnie z rysunkiem wiemy, że docelowy wał ma \(12m\) i że stanowić on będzie \(80\%\) tego co zostanie usypane. W związku z tym możemy zapisać następujące oznaczenia:
\(x\) - wysokość świeżo usypanego wału
\(0,8x\) - wysokość wału docelowego

Nasz wał docelowy ma \(12m\), czyli zajdzie równanie:
$$0,8x=12m$$ $$x=15m$$

To oznacza, że świeżo nasypany wał będzie mieć wysokość \(15m\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni przekroju dużego wału (świeżo usypanego).
Ten wał jest tak naprawdę graniastosłupem o podstawie trapezowej (można go sobie obrócić by sobie to lepiej wyobrazić). Spróbujmy więc na początku obliczyć pole powierzchni tego trapezu, które będzie jednocześnie polem podstawy graniastosłupa. Przed chwilą wyliczyliśmy sobie, że jego wysokość będzie równa \(15m\), natomiast długości podstawy dolnej i górnej się nie zmienią (bo tak wynika z treści zadania). W związku z tym pole trapezu wyniesie:
$$P_{p}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot H$$ $$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot(16m+6m)\cdot15m$$ $$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot22m\cdot15m$$ $$P_{p}=11m\cdot15m$$ $$P_{p}=165m^2$$

Krok 3. Obliczenie objętości wału.
Z racji tego iż wał ma długość \(100m\), to jego objętość będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=165m^2\cdot100m$$ $$V=16500m^3$$

To oznacza, że do usypania wału potrzebujemy \(16500m^3\) ziemi.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Z racji tego iż jest to trapez równoramienny to możemy skorzystać z jego własności i w ten sposób podzielić \(16m\) długości dolnej podstawy na odcinki o długościach \(5m, 6m, 5m\) (tak jak zaznaczono na rysunku).

Krok 2. Obliczenie długości ramienia trapezu.
Musimy obliczyć długość odcinka \(x\), który przyda nam się do obliczenia pola powierzchni warstwy gliny. Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa i trójkąta prostokątnego o bokach \(5m\), \(12m\) oraz \(x\):
$$5^2+12^2=x^2$$ $$25+144=x^2$$ $$x^2=169$$ $$x=13[m]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostokąta.
Powierzchnia zbocza wału jest prostokątem o bokach \(13m\) oraz \(100m\). To oznacza, że poszukiwane pole będzie równe:
$$P=13m\cdot100m=1300m^2$$

Nie da się stworzyć siatki z III figury. Skąd to wiemy? Kluczem jest tutaj położenie kwadratu, który nie styka się z trójkątem. Jakkolwiek byśmy tej siatki nie składali, to bok tego kwadratu nie zetknie nam się z bokiem trójkąta, czyli bryła nam się po prostu nie złoży.