Klasa 4 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest \(18\). Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe \(\frac{3}{5}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa
Ze zbioru pięciu liczb \(\{1,2,3,4,5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.
Dane są zdarzenia losowe \(A,B\subset\Omega\) takie, że \(P(A)=\frac{2}{7}\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{5}\).
Oblicz \(P(B\setminus A)\), gdzie zdarzenie \(B\setminus A\) oznacza różnicę zdarzeń \(B\) i \(A\). Podaj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zdarzenia losowe \(A,B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz \(P(A\cap B')=0{,}1\) i \(P(A'\cap B)=0{,}2\). Wykaż, że \(P(A\cap B)\le0{,}7\) (\(A'\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\), \(B'\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(B\)).
\(A,B\) są zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega\). Wykaż, że jeżeli \(P(A)=0{,}9\) i \(P(B)=0{,}7\), to \(P(A\cap B')\le0{,}3\) (\(B'\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(B\)).
Niech \(A,B\) będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach \(P(A)\) i \(P(B)\). Wykaż, że jeżeli \(P(A)=0{,}85\) i \(P(B)=0{,}75\), to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność \(P(A|B)\ge0{,}8\).
Para \((\Omega,P)\) jest przestrzenią probabilistyczną, a \(A\subset\Omega\) i \(B\subset\Omega\) są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli \(P(A\cup B)=1\), to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym, tj. \(P(A)=1\) lub \(P(B)=1\).
W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą, albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
Informacja, że zaszło $B$, zawęża przestrzeń zdarzeń — dlatego dzielimy przez $P(B)$.
Praktycznie często wystarczy przeliczyć zdarzenia sprzyjające już wewnątrz $B$. Pytając o asa wśród kart czerwonych: asów czerwonych jest $2$, kart czerwonych $26$, więc $\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$.
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \iff P(A|B)=P(A)$$
Zajście jednego zdarzenia nie zmienia szans drugiego.
To dwa zupełnie różne pojęcia — mylenie ich jest bardzo częste.
Dla zdarzeń rozłącznych $P(A\cap B)=0$. Gdyby były niezależne, musiałoby zachodzić $P(A)P(B)=0$, czyli jedno z nich miałoby prawdopodobieństwo zero. Zdarzenia rozłączne o dodatnich prawdopodobieństwach nigdy nie są niezależne — przeciwnie, są maksymalnie zależne: gdy zaszło jedno, drugie na pewno nie zaszło.
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Odejmujemy część wspólną, bo inaczej policzylibyśmy ją dwa razy. Dla zdarzeń rozłącznych ten składnik znika.
$$P(A\prime)=1-P(A)$$
To najczęściej używany skrót w zadaniach z „co najmniej”. Zamiast sumować przypadki „dokładnie jeden”, „dokładnie dwa”, „trzy”, liczymy dopełnienie:
$$P(\text{co najmniej jeden orzeł w 3 rzutach})=1-\left(\tfrac12\right)^3=\tfrac78$$
Kolejne losowania są zależne — po wyjęciu kuli zmienia się zarówno licznik, jak i mianownik.
Dla $4$ białych z $10$ kul: $P(\text{dwie białe})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{2}{15}$.
$$P(A)=\sum_i P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$
Rysujemy drzewo stochastyczne i sumujemy iloczyny wzdłuż wszystkich ścieżek prowadzących do $A$.
Przykład — dwie linie produkcyjne: $P(W)=0{,}7\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}05=0{,}029$.
Kontrola: wynik zawsze mieści się między najmniejszym a największym z prawdopodobieństw warunkowych — to średnia ważona.
$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{P(A)}$$
Odwraca kierunek pytania: znamy skutek, pytamy o przyczynę.
Test wykrywa chorobę u $99\%$ chorych i myli się u $2\%$ zdrowych, a choruje $1\%$ populacji. Wtedy $P(T)=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297$, więc:
$$P(C|T)=\frac{0{,}0099}{0{,}0297}=\frac13$$
Dodatni wynik oznacza chorobę tylko w jednym przypadku na trzy. Powód: zdrowych jest $99$ razy więcej, więc nawet mały odsetek fałszywych alarmów daje w liczbach bezwzględnych dwa razy więcej wyników dodatnich niż prawdziwych wykryć.
Rozróżniaj $P(A|B)$ od $P(B|A)$ — to zwykle zupełnie różne liczby. Przy losowaniu sprawdzaj, czy jest ze zwracaniem, czy bez. I nie mnóż prawdopodobieństw, gdy zdarzenia nie są niezależne.
Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie zajdzie.
Przykład: Szansa, że w dwóch rzutach monetą nie wypadnie orzeł: $1-\frac34=\frac14$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Rzucamy raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez $3$ jest równe
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest równa $7$, jest równe
W urnie są $4$ kule białe i $6$ kul czarnych. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
Ze zbioru liczb $\{1,2,3,\dots,20\}$ losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę podzielną przez $3$ lub przez $5$, jest równe
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego orła jest równe
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek jest parzysty, jest równe
Ze zbioru $\{1,2,3,4,5\}$ losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest równa $5$, jest równe
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $3$.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X=\{1,2,3,4,5\}$ — będzie to cyfra dziesiątek, a następnie jedną cyfrę ze zbioru $Y=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ — cyfra jedności. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba dwucyfrowa jest podzielna przez $3$.
Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo wyrzucenia $6$ jest równe
Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo liczby parzystej jest równe
W urnie są $4$ kule zielone i $6$ kul niebieskich. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej jest równe
Rzucamy dwa razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła jest równe
Rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadła liczba podzielna przez $3$.
Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od $4$?
Wiadomo, że $P(A)=0{,}3$. Oblicz $P(A')$.
W urnie jest $5$ kul białych i $3$ czarne. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej?
Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$ definiujemy jako:
Dane są $P(A\cap B)=0{,}2$ oraz $P(B)=0{,}5$. Oblicz $P(A|B)$.
Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy:
Rzucamy dwa razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadną dwa orły, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł.
Z talii $52$ kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że to as, jeśli wiadomo, że wylosowana karta jest czerwona.
Dla dowolnych zdarzeń $A$ i $B$ zachodzi:
Dane są $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ i $P(A\cap B)=0{,}3$. Oblicz $P(A\cup B)$ i sprawdź, czy zdarzenia są niezależne.
Rzucamy dwiema kostkami. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $7$?
W urnie jest $4$ kule białe i $6$ czarnych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą białe.
Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł.
Zdarzenia rozłączne $A$ i $B$ o dodatnich prawdopodobieństwach:
Prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi $0{,}8$ przy każdym strzale. Strzelec oddaje dwa niezależne strzały. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej raz.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym dla rozbicia $\Omega$ na $B_1$ i $B_2$ mówi, że:
W pierwszej urnie są $3$ kule białe i $2$ czarne, w drugiej $1$ biała i $4$ czarne. Rzucamy monetą: orzeł — losujemy z pierwszej urny, reszka — z drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Fabryka ma dwie linie produkcyjne. Pierwsza wytwarza $70\%$ produkcji i daje $2\%$ braków, druga $30\%$ produkcji i $5\%$ braków. Jaki procent całej produkcji stanowią braki?
Korzystając z danych z poprzedniego zadania: wylosowany produkt okazał się wadliwy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej linii?
Test wykrywa chorobę u $99\%$ chorych, ale u zdrowych daje wynik dodatni w $2\%$ przypadków. Choroba występuje u $1\%$ populacji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba z wynikiem dodatnim jest naprawdę chora?
Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki?
Z talii $52$ kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kiera?
W urnie jest $4$ kule białe i $6$ czarnych. Losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego?
Rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od $4$.
Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych i jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $7$?
Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia wynosi $0{,}3$. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
Z liczb $1,\,2,\,3,\,\ldots,\,20$ losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez $3$.
Rzucamy monetą trzy razy. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie dwóch orłów.
W klasie jest $15$ dziewcząt i $10$ chłopców. Losowo wybieramy jedną osobę do odpowiedzi. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to chłopiec.
Zdarzenia $A$ i $B$ są rozłączne, $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}4$. Ile wynosi $P(A\cup B)$?
Z urny z $3$ kulami białymi i $2$ czarnymi losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą białe.
Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi do tarczy, wynosi $0{,}8$. Oddaje dwa niezależne strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi za każdym razem.
Rzucamy kostką. Zdarzenie $A$: „wypadła liczba parzysta”, zdarzenie $B$: „wypadła liczba większa od $4$”. Ile wynosi $P(A\cap B)$?
Rzucamy monetą $4$ razy. Korzystając ze schematu Bernoulliego, oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie $3$ orłów.
Prawdopodobieństwo warunkowe: rzucamy kostką. Wiadomo, że wypadła liczba parzysta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to $6$?
W pudełku jest $5$ losów, w tym $2$ wygrywające. Dwie osoby losują kolejno po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że oboje wygrają.
Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn oczek będzie parzysty.
Test wielokrotnego wyboru ma $3$ pytania, każde z $4$ odpowiedziami (jedna poprawna). Uczeń zgaduje. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi wszystkie trzy odpowiedzi.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.