Wariacje bez powtórzeń

To wariacje z powtórzeniami. Na każdą z $2$ pozycji mamy $3$ możliwości:

$$3\cdot3=3^2=9$$

Odpowiedź: C. $9$.

To wariacje bez powtórzeń — cyfry się nie powtarzają.

Na pierwszą pozycję mamy $4$ możliwości, na drugą tylko $3$ (jedna cyfra już użyta):

$$4\cdot3=12$$

Odpowiedź: $12$ liczb.

W delegacji kolejność nie ma znaczenia, więc to kombinacje:

$$\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15$$

Dlaczego kombinacje, a nie wariacje: delegacja „Ala i Ola” to ta sama delegacja co „Ola i Ala” — kolejność wyboru nie tworzy nowej pary.

Odpowiedź: $15$ sposobów.

Wariacje z powtórzeniami. Na każdą z $3$ pozycji mamy $10$ cyfr:

$$10\cdot10\cdot10=10^3=1000$$

Odpowiedź: $1000$ numerów (od $000$ do $999$).

Kombinacje liczą wybory, w których kolejność nie ma znaczenia (np. wybór grupy, zestawu liczb w losowaniu).

Wariacje uwzględniają kolejność (np. ustawienie na podium, kod PIN).

Odpowiedź: D.

Wyraz MATURA ma $6$ liter, w tym literę A dwa razy.

Permutacje z powtórzeniami — dzielimy przez silnię liczby powtórzeń:

$$\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}=360$$

Dlaczego dzielimy: dwie litery A są nierozróżnialne, więc każde ustawienie policzylibyśmy dwa razy.

Odpowiedź: $360$ słów.

Wariacje bez powtórzeń — cyfry się nie powtarzają, kolejność ma znaczenie.

Na kolejne pozycje mamy coraz mniej możliwości:

$$9\cdot8\cdot7\cdot6=3024$$

Uwaga: nie ma tu cyfry $0$, więc nie trzeba się martwić o zero na pierwszym miejscu.

Odpowiedź: $3024$ liczby.

Role są jednakowe, więc kolejność nie ma znaczenia — to kombinacje:

$$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120$$

Porównanie: gdyby role były różne (prezes, wiceprezes, sekretarz), byłoby to $10\cdot9\cdot8=720$ sposobów (wariacje).

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Na każdej z trzech pozycji mamy $10$ możliwości:

$$10\cdot10\cdot10=10^3=1000$$

To wariacja z powtórzeniami: $n^k$, gdzie $n=10$, $k=3$.

Odpowiedź: $1000$ kodów.

Wybieramy $3$ elementy z $5$, przy czym kolejność ma znaczenie, a elementy się nie powtarzają:

$$5\cdot4\cdot3=60$$

Wzór: $\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{2!}=60$.

Dla porównania: $125=5^3$ to wariacje z powtórzeniami.

Odpowiedź: A. $60$.

Rozpoznanie: kolejność ma znaczenie (przewodniczący to inna funkcja niż zastępca), a jedna osoba nie może pełnić obu — to wariacja bez powtórzeń.

$$12\cdot11=132$$

Odpowiedź: $132$ sposoby.

Rozpoznanie: nagrody są różne, więc kolejność przydziału ma znaczenie; jedna osoba nie może dostać dwóch — bez powtórzeń.

$$7\cdot6\cdot5=210$$

Wzór: $\frac{7!}{4!}=210$.

Odpowiedź: $210$ sposobów.

Na każdej z pięciu pozycji mamy $2$ możliwości:

$$2^5=32$$

To wariacja z powtórzeniami — litery mogą się powtarzać.

Odpowiedź: C. $32$.

Z powtórzeniami — na każdej pozycji $10$ cyfr:

$$10^4=10\,000$$

Bez powtórzeń — liczba możliwości maleje o jeden przy każdej kolejnej pozycji:

$$10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$$

Obserwacja: zakaz powtórzeń zmniejsza liczbę kodów prawie o połowę.

Odpowiedź: $10\,000$ oraz $5040$.

Zestawienie wzorów:

• $n!$ — permutacje (ustawienia wszystkich elementów)
• $n^k$ — wariacje z powtórzeniami
• $\frac{n!}{(n-k)!}$ — wariacje bez powtórzeń
• $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — kombinacje (kolejność nieistotna)

Odpowiedź: B. $n^k$.

Krok 1 — cyfry nieparzyste: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ — jest ich $5$.

Krok 2 — z powtórzeniami. Na każdej z trzech pozycji mamy $5$ możliwości (zero nie należy do zbioru, więc pierwsza cyfra nie sprawia kłopotu):

$$5^3=125$$

Krok 3 — bez powtórzeń:

$$5\cdot4\cdot3=60$$

Odpowiedź: $125$ liczb, w tym $60$ o różnych cyfrach.

Z uwzględnieniem kolejności (wariacje bez powtórzeń):

$$52\cdot51\cdot50=132\,600$$

Bez uwzględniania kolejności (kombinacje). Każdy zestaw trzech kart policzyliśmy powyżej $3!=6$ razy — raz dla każdej kolejności:

$$\frac{132\,600}{6}=22\,100$$

Kluczowa różnica. Gdy rozdajemy karty na rękę, kolejność nie ma znaczenia — liczy się skład. Gdy jednak przypisujemy kartom role (pierwsza odkryta, druga, trzecia), kolejność się liczy.

Zapis wzorem: $\binom{52}{3}=\frac{52!}{3!\cdot49!}=22\,100$.

Odpowiedź: $132\,600$ z kolejnością, $22\,100$ bez.

1. Cyfra dziesiątek: $1$–$9$ ($9$ możliwości), jedności: $0$–$9$ ($10$). $9\cdot10=90$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — z zerem na początku; C — liczby od $1$ do $99$.

1. Każda z trzech pozycji — $4$ możliwości: $4^3=64$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — bez powtórzeń ($4\cdot3\cdot2$).

1. Ustawienie $4$ różnych cyfr: $4!=24$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — z powtórzeniami ($4^4$).

1. Setki: $9$, dziesiątki: $10$, jedności: $0,2,4,6,8$ — $5$. $9\cdot10\cdot5=450$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — pierwsza cyfra może być zerem; C — wszystkie trzycyfrowe.

1. Pierwsza cyfra: $9$ (bez zera), druga: $9$ (już z zerem, bez pierwszej), trzecia: $8$, czwarta: $7$.
2. $9\cdot9\cdot8\cdot7=4536$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — $10\cdot9\cdot8\cdot7$ (z zerem na początku); C — $9\cdot8\cdot7\cdot6$ (zero całkiem pominięte).

1. Przypadek 1: jedności $0$ — setki: $9$, dziesiątki: $8$ → $72$.
2. Przypadek 2: jedności $5$ — setki: $8$ (bez $0$ i $5$), dziesiątki: $8$ → $64$.
3. Razem: $72+64=136$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — w obu przypadkach liczono $9\cdot8$; C — cyfry mogły się powtarzać ($9\cdot10\cdot2$).

1. Każda z $5$ osób ściska $4$ dłonie: $5\cdot4=20$, ale każdy uścisk liczony jest dwa razy. $\frac{20}2=10$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — uścisk $A$–$B$ i $B$–$A$ to ten sam uścisk.

1. 1. Dziesiątki: $1,2,3$ — $3$; jedności: $4$ → $12$ — prawda.
2. 2. Parzyste: jedności $0$ lub $2$ → $3\cdot2=6\ne8$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. Przewodnicząca dziewczyna, zastępca chłopiec: $12\cdot10=120$.
2. Przewodniczący chłopiec, zastępczyni dziewczyna: $10\cdot12=120$.
3. Razem: $240$.

Odpowiedź: $240$

1. Cyfry z sumą $3$ i pierwszą cyfrą $\ge1$: układy cyfr $\{3,0,0,0\}$, $\{2,1,0,0\}$, $\{1,1,1,0\}$.
2. $3000$ — $1$ liczba; z cyframi $2,1,0,0$ — pierwsza $2$: $2100,2010,2001$; pierwsza $1$: $1200,1020,1002$ — $6$ liczb.
3. Z cyframi $1,1,1,0$: $1110,1101,1011$ — $3$ liczby. Razem $1+6+3=10$.

Odpowiedź: $10$

1. Kolejność nie ma znaczenia: $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120$.

Odpowiedź: $120$

1. $5$ liter, w tym M i A po dwa razy: $\frac{5!}{2!\,2!}=30$.

Odpowiedź: $30$

1. Wybór cyfr: nieparzyste $\binom52=10$, parzyste $\binom52=10$; ustawienia: $4!=24$. Razem $2400$ (z zerem na początku).
2. Złe: $0$ na początku — druga parzysta $4$ sposoby, nieparzyste $\binom52=10$, reszta ustawiona na $3!=6$ sposobów: $240$.
3. $2400-240=2160$.

Odpowiedź: $2160$

1. Sklejamy Anię i Bartka w blok: $5$ „obiektów” — $5!=120$ ustawień.
2. Wewnątrz bloku: $2$ ustawienia. Razem $240$.

Odpowiedź: $240$

1. $2$K+$2$M: $\binom72\binom52=210$; $3$K+$1$M: $\binom73\binom51=175$; $4$K: $\binom74=35$.
2. Razem $420$ (kontrola: $\binom{12}4-\binom54-\binom71\binom53=495-5-70=420$ ✓).

Odpowiedź: $420$

1. Przypadek 1: pierwsza cyfra to $5$ — drugą piątkę na jedno z $5$ miejsc, pozostałe $4$ cyfry: po $9$ możliwości: $5\cdot9^4=32\,805$.
2. Przypadek 2: pierwsza cyfra $\ne0,5$ — $8$ możliwości; dwie piątki na $\binom52=10$ sposobów; pozostałe $3$ cyfry po $9$: $8\cdot10\cdot729=58\,320$.
3. Razem $32\,805+58\,320=91\,125$.

Odpowiedź: $91\,125$

1. Wszystkich trójkątów: $\binom{10}3=120$.
2. Z dwoma bokami dziesięciokąta (trzy kolejne wierzchołki): $10$.
3. Z dokładnie jednym bokiem: $10$ boków $\cdot$ $6$ wierzchołków niesąsiednich z tym bokiem $=60$.
4. $120-10-60=50$.

Odpowiedź: $50$

1. Wszystkich rozmieszczeń: $3^5=243$.
2. Włączenia–wyłączenia: pusta co najmniej jedna szuflada: $3\cdot2^5-3\cdot1^5=96-3=93$.
3. $243-93=150$.

Odpowiedź: $150$

1. Ustawiamy $5$ zer — powstaje $6$ luk (przed, między i za zerami).
2. Jedynki wstawiamy do $3$ różnych luk: $\binom63=20$.

Odpowiedź: $20$

1. Miejsca parzyste: $2,4,6$ — dokładnie trzy, liczby parzyste też trzy: $3!=6$ ustawień.
2. Liczby nieparzyste na pozostałych $4$ miejscach: $4!=24$.
3. $6\cdot24=144$.

Odpowiedź: $144$

1. $4!=24$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.

1. $10^4=10000$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży $4\cdot10$.

1. $5!=120$.

Odpowiedź: $120$

W wariacjach kolejność ma znaczenie (np. ustawienia), a w kombinacjach — nie (np. wybór grupy).

Odpowiedź: C. kolejność elementów.

Kolejność ma znaczenie (przewodniczący ≠ zastępca), więc to wariacja bez powtórzeń:

$$5\cdot4=20$$

Odpowiedź: $20$ sposobów.

Kombinacje (wybór bez kolejności) liczymy symbolem Newtona:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Odpowiedź: B. $\binom{n}{k}$.

Delegacja to wybór bez kolejności, więc kombinacja:

$$\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Odpowiedź: A. $15$.

$$\binom{7}{0}=1,\qquad \binom{7}{7}=1$$

Interpretacja: jest jeden sposób wybrania zera elementów (nic) i jeden sposób wybrania wszystkich.

Odpowiedź: oba równe $1$.

Kolejność ma znaczenie (liczba $12\neq21$), cyfry różne — wariacja bez powtórzeń:

$$5\cdot4=20$$

Odpowiedź: $20$ liczb.

Wybór bez kolejności — kombinacja:

$$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120$$

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Miejsca są rozróżnialne (kolejność istotna), a osoby się nie powtarzają — to wariacja bez powtórzeń:

$$7\cdot6\cdot5=210$$

Odpowiedź: B. wariacja bez powtórzeń.

Krok 1 — łączymy pary wierzchołków. Wybór $2$ z $6$ wierzchołków:

$$\binom{6}{2}=15$$

Krok 2 — odejmujemy boki (to nie przekątne):

$$15-6=9$$

Wzór ogólny: $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{6\cdot3}{2}=9$ ✔

Odpowiedź: $9$ przekątnych.

Para to wybór bez kolejności:

$$\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}=10$$

Odpowiedź: $10$ par.

$$\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6$$

Odpowiedź: C. $6$.

(a) Bez funkcji — kolejność nieistotna, kombinacja:

$$\binom{6}{2}=15$$

(b) Z funkcjami — kolejność istotna, wariacja:

$$6\cdot5=30$$

Kluczowa różnica. Wariacji jest dwa razy więcej, bo każdej parze odpowiadają dwa przydziały funkcji. Ogólnie: $\text{wariacje}=\text{kombinacje}\cdot k!$.

Odpowiedź: (a) $15$, (b) $30$.

$$\binom{n}{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=n$$

Interpretacja: jest $n$ sposobów wybrania jednego elementu.

Odpowiedź: A. $n$.

Kolejność ma znaczenie, cyfry różne — wariacja bez powtórzeń $3$-elementowa z $6$:

$$6\cdot5\cdot4=120$$

Rozumowanie: pierwsza cyfra $6$ możliwości, druga $5$ (jedna zużyta), trzecia $4$.

Uwaga: zbiór nie zawiera zera, więc nie ma problemu z pierwszą cyfrą.

Odpowiedź: $120$.

Krok 1 — uścisk to para osób (kolejność nieistotna — A ściska B to to samo co B ściska A):

$$\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45$$

Interpretacja. To klasyczne zadanie „o uściskach dłoni" — liczba par w grupie $n$ osób to $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.

Odpowiedź: $45$ uścisków.

Krok 1 — wybór $2$ kobiet z $7$:

$$\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21$$

Krok 2 — wybór $1$ mężczyzny z $5$:

$$\binom{5}{1}=5$$

Krok 3 — reguła mnożenia. Wybory są niezależne:

$$21\cdot5=105$$

Metoda. Gdy zespół ma określony skład, mnożymy liczby kombinacji dla każdej grupy osobno.

Odpowiedź: $105$ sposobów.