Walec

$$V=\pi r^2 H=\pi\cdot16\cdot5=80\pi$$

Pułapka: $20\pi$ powstałoby z $\pi\cdot4\cdot5$ — bez podnoszenia promienia do kwadratu.

Odpowiedź: C. $80\pi$.

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot9\cdot7=21\pi$$

Zapamiętaj: stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: $21\pi\approx65{,}97$.

Dwie podstawy:

$$2\pi r^2=2\pi\cdot4=8\pi$$

Powierzchnia boczna — prostokąt o wymiarach $2\pi r$ na $H$:

$$2\pi\cdot2\cdot5=20\pi$$

Razem:

$$P=8\pi+20\pi=28\pi$$

Odpowiedź: $28\pi$.

Przekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy na wysokość.

$$2r=6,\qquad H=10$$

Uwaga: trójkąt równoramienny to przekrój osiowy stożka, a nie walca.

Odpowiedź: D. prostokątem $6\times10$.

Krok 1 — jaka bryła. Obrót prostokąta wokół boku daje walec.

Krok 2 — wymiary. Oś obrotu (bok $8$) staje się wysokością, a drugi bok — promieniem:

$$r=3,\qquad H=8$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\pi\cdot9\cdot8=72\pi$$

Odpowiedź: walec o objętości $72\pi$.

Powierzchnia boczna stożka to wycinek koła o promieniu równym tworzącej:

$$P_b=\pi r l$$

Uwaga: we wzorze występuje tworząca $l$, a nie wysokość $H$. To najczęstsza pomyłka — $2\pi r H$ to pole boczne walca.

Odpowiedź: C. $\pi r l$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$\pi r^2\cdot4=64\pi$$

Krok 2 — dzielimy przez $4\pi$:

$$r^2=16$$

Krok 3 — pierwiastkujemy (promień jest dodatni):

$$r=4$$

Odpowiedź: $r=4$.

Kula wpisana dotyka obu podstaw, więc $H=2r$:

$$V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3,\qquad V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$

$$\frac{V_{\text{kuli}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{4/3}{2}=\frac23$$

To odkrycie Archimedesa — kazał wyryć ten wynik na swoim nagrobku.

Odpowiedź: A. $\frac23$.

Krok 1 — poziom wody:

$$h=\frac{12}{2}=6\ \text{dm}$$

Krok 2 — objętość wody:

$$V=\pi\cdot25\cdot6=150\pi\approx471\ \text{dm}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry. $1$ dm$^3=1$ litr, więc:

$$V\approx471\ \text{litrów}$$

Uwaga: woda wypełnia dokładnie połowę walca — objętość jest wprost proporcjonalna do wysokości słupa cieczy.

Odpowiedź: około $471$ litrów.

Krok 1 — kluczowa obserwacja. Przetapianie nie zmienia objętości materiału.

Krok 2 — objętość kuli:

$$V=\frac43\pi\cdot216=288\pi$$

Krok 3 — przyrównujemy do objętości walca:

$$\pi\cdot36\cdot H=288\pi$$

Krok 4 — wyznaczamy wysokość:

$$H=\frac{288}{36}=8$$

Kontrola sensu: średnica kuli wynosi $12$, a walec o tym samym promieniu wyszedł niższy ($8$) — to zgadza się z faktem, że kula wypełnia tylko $\frac23$ opisanego na niej walca ✔

Odpowiedź: $H=8$.

Walec:

$$V_1=\pi\cdot9\cdot6=54\pi$$

Stożek:

$$V_2=\frac13\pi\cdot9\cdot6=18\pi$$

Kula:

$$V_3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$

Uporządkowanie:

$$18\pi\lt 36\pi\lt 54\pi$$

$$\text{stożek}\lt \text{kula}\lt \text{walec}$$

Warto zauważyć. Przy $H=2r$ zachodzi ładna zależność: objętości stożka, kuli i walca mają się jak $1:2:3$. Tutaj $18\pi$, $36\pi$, $54\pi$ — dokładnie w tym stosunku ✔ To znany wynik Archimedesa.

Odpowiedź: stożek $18\pi$, kula $36\pi$, walec $54\pi$.

$$V=\pi r^2 h$$

Odpowiedź: B. $\pi r^2 h$.

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=\pi\cdot9\cdot5=45\pi$$

Odpowiedź: $45\pi$.

Stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec o tej samej podstawie i wysokości:

$$V=\frac13\pi r^2 h$$

Odpowiedź: C. $\frac13\pi r^2 h$.

$$P_b=2\pi\cdot2\cdot7=28\pi$$

Odpowiedź: $28\pi$.

Krok 1 — dwie podstawy (koła):

$$2\pi r^2=2\pi\cdot9=18\pi$$

Krok 2 — powierzchnia boczna:

$$2\pi r h=2\pi\cdot3\cdot4=24\pi$$

Krok 3 — suma:

$$P_c=18\pi+24\pi=42\pi$$

Odpowiedź: $42\pi$.

Obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej daje stożek (obrót prostokąta → walec, obrót półkola → kula).

Odpowiedź: B. trójkąta prostokątnego.

Z wzoru $V=\pi r^2 h$:

$$50\pi=\pi\cdot25\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{50\pi}{25\pi}=2$$

Odpowiedź: $h=2$.

$V_{\text{stożek}}=\frac13\pi r^2h$, $V_{\text{walec}}=\pi r^2h$ — stosunek $\frac13$.

Odpowiedź: C. $\frac13$ walca.

$$V=\pi\cdot1^2\cdot1=\pi$$

Odpowiedź: A. $\pi$.

Krok 1 — objętość:

$$V=\pi\cdot0{,}5^2\cdot2=\pi\cdot0{,}25\cdot2=0{,}5\pi\approx1{,}57\ \text{m}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry:

$$1{,}57\ \text{m}^3=1570\ \text{l}$$

Odpowiedź: około $1570$ litrów.

1. $V=\pi\cdot9\cdot5=45\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — wzór stożka; B — pole powierzchni bocznej $2\pi rH$.

1. 1. $V_s=\tfrac13\pi r^2H=\tfrac13V_w$ — prawda.
2. 2. Po podwojeniu promienia: $\tfrac13\pi(2r)^2H=4\cdot\tfrac13\pi r^2H$ — objętość rośnie czterokrotnie — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $V=\pi\cdot5^2\cdot2=\pi\cdot25\cdot2$.
2. $=50\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot4=\tfrac13\cdot36\pi$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $V=\tfrac43\pi r^3=\tfrac43\pi\cdot27$.
2. $=36\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D używa $r^2$ zamiast $r^3$.

1. $P=4\pi r^2=4\pi\cdot4$.
2. $=16\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\pi\cdot1^2\cdot10$.
2. $=10\pi$.

Odpowiedź: $10\pi$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot1=\tfrac13\cdot36\pi$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B pomija $\tfrac13$.

1. $P_b=2\pi r H=2\pi\cdot3\cdot4$.
2. $=24\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija czynnik $2$.

1. $V=\tfrac43\pi\cdot1^3$.
2. $=\tfrac43\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to pole powierzchni.

1. $V=\pi\cdot4\cdot3$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\tfrac13\pi r^2 H=\tfrac13\pi\cdot9\cdot8$.
2. $=\tfrac13\cdot72\pi=24\pi$.

Odpowiedź: $24\pi$.

1. $V=\pi\cdot9\cdot2=18\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B używa $r$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot2=24\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $P=4\pi\cdot9=36\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r^2$ bez $4$.

1. $V=\pi\cdot1\cdot5=5\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi$.

Odpowiedź: $12\pi$

Przekrój osiowy powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

Dla walca taka płaszczyzna wycina prostokąt, którego jeden bok to średnica podstawy, a drugi to wysokość:

$$2r\times H=10\times8$$

Najczęstszy błąd: użycie promienia zamiast średnicy — stąd błędna odpowiedź C.

Dla porównania: przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a kuli — koło wielkie.

Odpowiedź: B. prostokąt $10\times8$.