Stożek

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot9\cdot7=21\pi$$

Zapamiętaj: stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: $21\pi\approx65{,}97$.

Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Rozpoznanie: trójka $6$–$8$–$10$.

Odpowiedź: A. $10$.

Przekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy na wysokość.

$$2r=6,\qquad H=10$$

Uwaga: trójkąt równoramienny to przekrój osiowy stożka, a nie walca.

Odpowiedź: D. prostokątem $6\times10$.

Krok 1 — podstawa:

$$P_p=\pi r^2=25\pi$$

Krok 2 — powierzchnia boczna:

$$P_b=\pi r l=\pi\cdot5\cdot13=65\pi$$

Krok 3 — razem:

$$P=25\pi+65\pi=90\pi$$

Odpowiedź: $90\pi$.

Powierzchnia boczna stożka to wycinek koła o promieniu równym tworzącej:

$$P_b=\pi r l$$

Uwaga: we wzorze występuje tworząca $l$, a nie wysokość $H$. To najczęstsza pomyłka — $2\pi r H$ to pole boczne walca.

Odpowiedź: C. $\pi r l$.

Krok 1 — jaka bryła. Obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej daje stożek.

Krok 2 — wymiary. Oś obrotu staje się wysokością, druga przyprostokątna — promieniem:

$$H=8,\qquad r=6$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$$

Uwaga: obrót wokół drugiej przyprostokątnej dałby inną bryłę — $r=8$, $H=6$, a więc $V=128\pi$. Kierunek obrotu ma znaczenie.

Odpowiedź: $96\pi$.

Z twierdzenia Pitagorasa, gdzie tworząca jest przeciwprostokątną:

$$H=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$$

Rozpoznanie: trójka $8$–$15$–$17$.

Odpowiedź: $H=15$.

W przekroju osiowym podstawą trójkąta jest średnica ($2r$), a ramionami — dwie tworzące.

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, więc:

$$l=2r$$

Konsekwencja: wysokość takiego stożka wynosi $H=\sqrt{4r^2-r^2}=r\sqrt3$.

Odpowiedź: B. $l=2r$.

Krok 1 — tworząca:

$$l=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot81\cdot12=324\pi$$

Krok 3 — pole powierzchni:

$$P=\pi r^2+\pi r l=81\pi+\pi\cdot9\cdot15=81\pi+135\pi=216\pi$$

Rozpoznanie: trójka $9$–$12$–$15$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $3$.

Odpowiedź: $l=15$, $V=324\pi$, $P=216\pi$.

Walec:

$$V_1=\pi\cdot9\cdot6=54\pi$$

Stożek:

$$V_2=\frac13\pi\cdot9\cdot6=18\pi$$

Kula:

$$V_3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$

Uporządkowanie:

$$18\pi\lt 36\pi\lt 54\pi$$

$$\text{stożek}\lt \text{kula}\lt \text{walec}$$

Warto zauważyć. Przy $H=2r$ zachodzi ładna zależność: objętości stożka, kuli i walca mają się jak $1:2:3$. Tutaj $18\pi$, $36\pi$, $54\pi$ — dokładnie w tym stosunku ✔ To znany wynik Archimedesa.

Odpowiedź: stożek $18\pi$, kula $36\pi$, walec $54\pi$.

Stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec o tej samej podstawie i wysokości:

$$V=\frac13\pi r^2 h$$

Odpowiedź: C. $\frac13\pi r^2 h$.

$$V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=\frac13\pi\cdot36=12\pi$$

Odpowiedź: $12\pi$.

Obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej daje stożek (obrót prostokąta → walec, obrót półkola → kula).

Odpowiedź: B. trójkąta prostokątnego.

$V_{\text{stożek}}=\frac13\pi r^2h$, $V_{\text{walec}}=\pi r^2h$ — stosunek $\frac13$.

Odpowiedź: C. $\frac13$ walca.

Krok 1 — tworząca to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $r=6$ i $h=8$:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$

Odpowiedź: tworząca $l=10$.

Krok 1 — objętość:

$$V=\pi\cdot0{,}5^2\cdot2=\pi\cdot0{,}25\cdot2=0{,}5\pi\approx1{,}57\ \text{m}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry:

$$1{,}57\ \text{m}^3=1570\ \text{l}$$

Odpowiedź: około $1570$ litrów.

Krok 1 — wysokość z twierdzenia Pitagorasa ($l^2=r^2+h^2$):

$$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot5^2\cdot12=\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi$$

Odpowiedź: $100\pi$.

1. $a^3=216 \Rightarrow a=6$. Przekątna: $a\sqrt3=6\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — przekątna ściany (kwadratu), a nie sześcianu.

1. $d=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — suma krawędzi; C — przekątna ściany $2\times3$.

1. $P_p=\frac{16\sqrt3}4=4\sqrt3$, $V=4\sqrt3\cdot5=20\sqrt3$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — wzór dla ostrosłupa (z $\frac13$); A — podstawa jako kwadrat.

1. $V=\pi\cdot9\cdot5=45\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — wzór stożka; B — pole powierzchni bocznej $2\pi rH$.

1. $H=\sqrt{100-36}=8$.
2. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — bez $\frac13$; C — wysokość zastąpiona tworzącą.

1. $\tfrac43\pi r^3=36\pi \Rightarrow r^3=27 \Rightarrow r=3$.
2. $P=4\pi\cdot9=36\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pole koła wielkiego; D — $r^3$ zamiast pola.

1. Trójkąt: wysokość ostrosłupa $4$, połowa krawędzi podstawy $3$, wysokość ściany — przeciwprostokątna.
2. $h_b=\sqrt{16+9}=5$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — to krawędź boczna (z połową przekątnej $3\sqrt2$); A — użyta cała krawędź $6$.

1. 1. $V_s=\tfrac13\pi r^2H=\tfrac13V_w$ — prawda.
2. 2. Po podwojeniu promienia: $\tfrac13\pi(2r)^2H=4\cdot\tfrac13\pi r^2H$ — objętość rośnie czterokrotnie — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. Krawędź podstawy: $a=8$, $P_p=64$. Połowa przekątnej: $4\sqrt2$.
2. Kąt $45^\circ$ → trójkąt równoramienny: $H=4\sqrt2$.
3. $V=\tfrac13\cdot64\cdot4\sqrt2=\dfrac{256\sqrt2}{3}$.

Odpowiedź: $V=\dfrac{256\sqrt2}{3}$

1. Trójkąt: $h_b=10$, kąt $60^\circ$ przy podstawie, przyprostokątne: $\frac a2$ i $H$.
2. $\frac a2=10\cos60^\circ=5 \Rightarrow a=10$; $H=10\sin60^\circ=5\sqrt3$.
3. $V=\tfrac13\cdot100\cdot5\sqrt3=\dfrac{500\sqrt3}{3}$.
4. $P_c=a^2+4\cdot\tfrac12\cdot a\cdot h_b=100+200=300$.

Odpowiedź: $V=\dfrac{500\sqrt3}{3}$, $P_c=300$

1. $V=\pi\cdot5^2\cdot2=\pi\cdot25\cdot2$.
2. $=50\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot4=\tfrac13\cdot36\pi$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $V=\tfrac43\pi r^3=\tfrac43\pi\cdot27$.
2. $=36\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D używa $r^2$ zamiast $r^3$.

1. $P=4\pi r^2=4\pi\cdot4$.
2. $=16\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\pi\cdot1^2\cdot10$.
2. $=10\pi$.

Odpowiedź: $10\pi$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot1=\tfrac13\cdot36\pi$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B pomija $\tfrac13$.

1. $P_b=2\pi r H=2\pi\cdot3\cdot4$.
2. $=24\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija czynnik $2$.

1. $V=\tfrac43\pi\cdot1^3$.
2. $=\tfrac43\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to pole powierzchni.

1. $V=\pi\cdot4\cdot3$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\tfrac13\pi r^2 H=\tfrac13\pi\cdot9\cdot8$.
2. $=\tfrac13\cdot72\pi=24\pi$.

Odpowiedź: $24\pi$.

1. $V=\pi\cdot9\cdot2=18\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B używa $r$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot2=24\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $P=4\pi\cdot9=36\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r^2$ bez $4$.

1. $V=\pi\cdot1\cdot5=5\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi$.

Odpowiedź: $12\pi$

Stożek jest „ostrosłupem” o okrągłej podstawie, więc również ma współczynnik $\frac13$:

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot36\cdot5$$

Liczymy:

$$V=\frac13\cdot180\pi=60\pi$$

Pułapka: odpowiedź A ($180\pi$) to objętość walca o tych samych wymiarach — dokładnie trzy razy większa.

Odpowiedź: C. $60\pi$.

Krok 1 — tworząca z twierdzenia Pitagorasa. Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole podstawy:

$$P_p=\pi r^2=9\pi$$

Krok 3 — pole boczne:

$$P_b=\pi r l=\pi\cdot3\cdot5=15\pi$$

Krok 4 — pole całkowite:

$$P=9\pi+15\pi=24\pi\ \text{cm}^2\approx75{,}4\ \text{cm}^2$$

Uwaga: w polu bocznym stożka występuje tworząca $l$, a nie wysokość $H$ — to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

Odpowiedź: $l=5$ cm, $P=24\pi\approx75$ cm$^2$.

Przekrój osiowy powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

Dla walca taka płaszczyzna wycina prostokąt, którego jeden bok to średnica podstawy, a drugi to wysokość:

$$2r\times H=10\times8$$

Najczęstszy błąd: użycie promienia zamiast średnicy — stąd błędna odpowiedź C.

Dla porównania: przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a kuli — koło wielkie.

Odpowiedź: B. prostokąt $10\times8$.

Krok 1 — ustalamy wymiary stożka. Przy obrocie wokół dłuższej przyprostokątnej to ona staje się wysokością, a krótsza zakreśla podstawę i staje się promieniem:

$$H=8\ \text{cm},\qquad r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi\ \text{cm}^3$$

Przybliżenie: $96\pi\approx301{,}6$ cm$^3$.

Warto porównać: obrót wokół krótszej przyprostokątnej dałby $H=6$ i $r=8$, czyli $V=\frac13\pi\cdot64\cdot6=128\pi$ — inną bryłę o większej objętości. Oś obrotu ma znaczenie.

Odpowiedź: $V=96\pi\approx302$ cm$^3$.