Proste i płaszczyzny w przestrzeni

Ostrosłup ma jedną podstawę i pozostałe ściany boczne, więc:

liczba ścian bocznych: \(12-1=11\)

Każda ściana boczna opiera się na jednym boku podstawy, zatem podstawą jest jedenastokąt.

Wierzchołki: \(11\) wierzchołków podstawy oraz \(1\) wierzchołek ostrosłupa:

\(11+1=12\)

Odpowiedź: C.

Ostrosłup o \(2024\) ścianach bocznych ma w podstawie wielokąt o \(2024\) bokach.

Liczba krawędzi podstawy: \(2024\)

Liczba krawędzi bocznych (po jednej z każdego wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa): \(2024\)

Łącznie:

\(2024+2024=4048\)

Odpowiedź: C.

Krok 1. Układ współrzędnych.

Przyjmijmy, że krawędź sześcianu ma długość \(2\), i wprowadźmy współrzędne:

\(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(2,2,0)\), \(D=(0,2,0)\)

\(E=(0,0,2)\), \(F=(2,0,2)\), \(G=(2,2,2)\), \(H=(0,2,2)\)

Punkt \(K\) jest środkiem krawędzi \(BF\), więc \(K=(2,0,1)\).

Krok 2. Równanie płaszczyzny \(ACK\).

\(\vec{AC}=[2,2,0]\), \(\;\vec{AK}=[2,0,1]\)

Wektor normalny otrzymujemy z iloczynu wektorowego:

\(\vec{n}=\vec{AC}\times\vec{AK}=[2\cdot 1-0\cdot 0,\;0\cdot 2-2\cdot 1,\;2\cdot 0-2\cdot 2]=[2,-2,-4]\)

Płaszczyzna przechodzi przez \(A=(0,0,0)\):

\(2x-2y-4z=0\), czyli \(x-y-2z=0\)

Krok 3. Punkt przecięcia z przekątną \(BH\).

Parametryzujemy odcinek \(BH\): \(B=(2,0,0)\), \(H=(0,2,2)\):

\(P=(2-2t,\;2t,\;2t)\), gdzie \(t\in\langle 0,1\rangle\)

Podstawiamy do równania płaszczyzny:

\((2-2t)-2t-4t=0\)

\(2-8t=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}\)

Krok 4. Wniosek.

Parametr \(t=\frac{1}{4}\) oznacza, że \(|BP|=\frac{1}{4}|BH|\), a więc \(|HP|=\frac{3}{4}|BH|\).

\(\frac{|BP|}{|HP|}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\)

czyli \(|BP|:|HP|=1:3\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Wprowadzenie środków krawędzi.

Niech \(M\) będzie środkiem krawędzi \(AS\), a \(N\) — środkiem krawędzi \(BC\).

Krok 2. Odcinki \(BM\) i \(CM\).

Trójkąt \(ABS\) jest równoramienny (\(|AB|=|SB|=9\)), więc środkowa \(BM\) jest jednocześnie wysokością:

\(|BM|=\sqrt{9^2-4^2}=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}\)

Analogicznie z trójkąta \(ACS\) (\(|AC|=|SC|=9\)):

\(|CM|=\sqrt{65}\)

Krok 3. Prostopadłość krawędzi \(AS\) do płaszczyzny \(BMC\).

Mamy \(AS\perp BM\) oraz \(AS\perp CM\), a proste \(BM\) i \(CM\) przecinają się w punkcie \(M\), zatem:

\(AS\perp\) płaszczyzna \(BMC\)

Krok 4. Pole trójkąta \(BMC\).

Trójkąt \(BMC\) jest równoramienny (\(|BM|=|CM|=\sqrt{65}\)) o podstawie \(|BC|=8\), więc jego wysokość \(MN\) wynosi:

\(|MN|=\sqrt{65-16}=\sqrt{49}=7\)

\(P_{BMC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7=28\)

Krok 5. Objętość.

Płaszczyzna \(BMC\) dzieli ostrosłup na dwa ostrosłupy o wspólnej podstawie \(BMC\) i wierzchołkach \(A\) oraz \(S\). Ponieważ \(AS\perp\) płaszczyzna \(BMC\), wysokościami tych ostrosłupów są odcinki \(AM\) i \(SM\), każdy o długości \(4\):

\(V=\frac{1}{3}\cdot 28\cdot 4+\frac{1}{3}\cdot 28\cdot 4=\frac{1}{3}\cdot 28\cdot 8=\frac{224}{3}\)

Odpowiedź: \(V=\frac{224}{3}\approx 74{,}67\)