Klasa 4 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ jest równa wartości wyrażenia
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-2$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+4x+4}$ jest równa wartości wyrażenia
Wykaż, że liczba \(8^{50}-2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\) liczba \((2n+5)^2+3\) jest podzielna przez \(4\).
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej \(n\) wyrażenie \(n^5-3n^4-n+19\) jest podzielne przez \(16\).
Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.
Wysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji:
| Wartość transakcji | Wysokość prowizji |
|---|---|
| do 500 zł | 15 zł |
| od 500,01 zł do 3000 zł | 2% wartości transakcji + 5 zł |
| od 3000,01 zł do 8000 zł | 1,5% wartości transakcji + 20 zł |
| od 8000,01 zł do 15000 zł | 1% wartości transakcji + 60 zł |
| powyżej 15000 zł | 0,7% wartości transakcji + 105 zł |
Klient zakupił za pośrednictwem tego biura maklerskiego 530 akcji w cenie 25 zł za jedną akcję. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po 45 zł za jedną sztukę. Oblicz, ile zarobił na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił.
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Liczba $2^3\cdot2^2$ jest równa
Liczba $\sqrt{16}$ jest równa
Liczba $\big(2^3\big)^2$ jest równa
Liczba $3^{-1}$ jest równa
Oblicz $2^4\cdot2^{-2}$.
Liczba niewymierna jest
Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-3,\,2\rangle$?
Przedział $\langle 2,5\rangle\cap\langle 4,7\rangle$ to
Liczba $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ jest równa
Wykaż, że liczba $\big(\sqrt5-\sqrt2\big)\big(\sqrt5+\sqrt2\big)$ jest liczba całkowita, i podaj ją.
Przedział $\langle -1,4)\cup\langle 2,6\rangle$ to
Rozwinięcie dziesiętne liczby $\dfrac{7}{20}$ jest
Liczba $\sqrt{72}$ jest równa
Liczba $0,\!(6)$ jest równa
Uzasadnij, że liczba $\sqrt{27}+\dfrac{6}{\sqrt3}$ jest wielokrotnością $\sqrt3$, i zapisz ją w postaci $k\sqrt3$.
Liczba $\sqrt{9}+\sqrt{16}$ jest równa
Ile liczb całkowitych należy do przedziału $\langle-2,3)$?
Przedział $\langle1,4\rangle\cup\langle3,6\rangle$ to
Liczba wymierna jest
Oblicz $\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Przez $3$ dzieli się liczba
Największy wspólny dzielnik liczb $24$ i $36$ jest równy
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $6$ i $8$ jest równa
Liczba pierwsza jest
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez $3$.
Liczba dzielników naturalnych liczby $12$ jest równa
Przez $4$ dzieli się liczba
Liczba parzysta i podzielna przez $5$ to
Reszta z dzielenia $2^{5}$ przez $5$ jest równa
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczba parzysta.
Przez $9$ dzieli się liczba
Największy wspólny dzielnik liczb $15$ i $25$ jest równy
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $4$ i $6$ jest równa
Przez $6$ dzieli się liczba
Wyznacz resztę z dzielenia liczby $50$ przez $6$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2\ge2ab$.
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ prawdziwa jest nierówność $x+\dfrac1x\ge2$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4$.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4-4x+3\ge0$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$.
Liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=2$ oraz $a^2+b^2\le2$. Wykaż, że $a=b=1$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)^3\ge4ab(a+b)$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^5-n$ jest podzielna przez $30$.
Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają warunek $a+b=1$. Wykaż, że $ab\le\tfrac14$ oraz $\left(1+\dfrac1a\right)\left(1+\dfrac1b\right)\ge9$.
Dziedziną funkcji $f(x)=\frac{2}{x-5}$ jest zbiór:
Miejsce zerowe funkcji $f(x)=3x-12$ to:
Dla funkcji $f(x)=x^2-3x$ oblicz $f(-2)$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+3$ jest:
Oblicz $\sqrt{48}$ w postaci uproszczonej.
Funkcja liniowa $f(x)=-2x+5$ przecina oś OY w punkcie:
Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(0,\,-1)$ i $(2,\,5)$.
Ile wynosi $\log_2 8+\log_2 2$?
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-5x+6$.
Cena po podwyżce o $25\%$ wynosi $250$ zł. Cena przed podwyżką to:
Funkcja $f(x)=(x-3)^2+2$ ma wartość najmniejszą równą:
Rozwiąż nierówność $2x-6>0$ i zapisz przedziałem.
Oblicz odległość punktów $A=(2,\,-1)$ i $B=(6,\,2)$.
Funkcja $f(x)=2^x$ jest:
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(1,\,3)$ i $B=(7,\,9)$. Wyznacz $S$.
Wyrażenie $\frac{x^2-9}{x-3}$ dla $x\neq3$ upraszcza się do:
Wyznacz największą wartość funkcji $f(x)=-x^2+4x+1$.
Rozwiąż równanie $2^{x+1}=16$.
Prosta przechodzi przez punkt $A=(1,\,2)$ i jest równoległa do prostej $y=3x-4$. Wyznacz jej równanie.
Lokata $8000$ zł na $5\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach i ile wyniosą same odsetki?
Liczba $\sqrt{18}$ jest równa:
Ile wynosi $\log_2 64$?
Cena towaru wzrosła o $20\%$, a następnie spadła o $20\%$. O ile procent zmieniła się cena względem początkowej?
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
Funkcja liniowa $f(x)=-3x+7$ jest:
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1=5$ i różnicę $r=3$. Oblicz $a_{10}$ oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy ma miarę:
Oblicz odległość między punktami $A=(-1,\,2)$ i $B=(3,\,5)$.
Rozwiąż nierówność $2x-6\ge 0$ i zapisz rozwiązanie przedziałem.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $5$ i $12$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 30^\circ+\cos 60^\circ+\tg 45^\circ$.
Ciąg geometryczny ma $a_1=3$ i iloraz $q=2$. Oblicz $a_5$ oraz sumę pięciu pierwszych wyrazów.
Rzucamy dwiema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów?
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $5$ cm i wysokości $8$ cm.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,3)$ i $B=(2,\,7)$.
Mediana zestawu $4$, $7$, $2$, $9$, $6$ wynosi:
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-6x+11$ i argument, dla którego jest osiągana.
Pole trapezu wynosi $84$ cm$^2$, podstawy mają $10$ cm i $18$ cm. Oblicz wysokość trapezu.
Kapitał $5000$ zł ulokowano na $4\%$ w skali roku z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach?
Z pudełka z $4$ kulami białymi i $6$ czarnymi losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.