Kombinatoryka i prawdopodobieństwo — powtórzenie

Pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być liczba nieujemna:

$$x-3\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge3$$

Nawias domknięty, bo dla $x=3$ mamy $\sqrt0=0$ — wartość istnieje.

Odpowiedź: B. $\langle3,+\infty)$.

$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$

Liczba ustawień $n$ różnych elementów to właśnie $n!$, więc odpowiedź na oba pytania jest ta sama.

Odpowiedź: $120$.

Rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa:

$$P=\frac16\cdot\frac16=\frac{1}{36}$$

Kontrola: wszystkich wyników dwóch rzutów jest $36$, a sprzyja tylko jeden ✔

Odpowiedź: $\frac{1}{36}$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje znak współczynnika kierunkowego:

$$a=-3<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja malejąca}$$

Odpowiedź: C. malejąca.

Na każdej z czterech pozycji mamy $10$ możliwości:

$$10^4=10\,000$$

Odpowiedź: $10\,000$.

Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejsza wartość wypada dla $x=0$:

$$f(0)=-4$$

Wartość $-4$ jest osiągana, więc nawias domykamy.

Odpowiedź: A. $\langle-4,+\infty)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Szukamy liczb o sumie $8$ i iloczynie $15$:

$$x_1=3,\qquad x_2=5$$

Krok 2 — wierzchołek:

$$p=\frac{8}{2}=4,\qquad q=f(4)=16-32+15=-1$$

$$W=(4,-1)$$

Kontrola: wierzchołek leży w połowie między pierwiastkami — $\frac{3+5}{2}=4$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{3,\,5\}$, $W=(4,-1)$.

Rozpoznanie. W delegacji kolejność nie ma znaczenia — liczy się tylko skład. To kombinacje.

$$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120$$

Dla porównania: gdyby role były różne (przewodniczący, zastępca, sekretarz), byłoby $10\cdot9\cdot8=720$ możliwości.

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Rzuty są niezależne:

$$P=\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}$$

Kontrola: wszystkich wyników jest $2^4=16$, a sprzyja jeden ✔

Odpowiedź: D. $\frac{1}{16}$.

Krok 1 — mianownik różny od zera:

$$x^2-4\neq0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-2)(x+2)\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq2 \ \text{oraz}\ x\neq-2$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$

Najczęstszy błąd: pominięcie pierwiastka ujemnego.

Odpowiedź: $\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.

$$\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Interpretacja: tyle jest sposobów wyboru $2$ elementów z $6$ bez uwzględniania kolejności — na przykład tyle par można utworzyć z $6$ osób.

Odpowiedź: B. $15$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{12-3}{4-1}=\frac93=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z pierwszego punktu:

$$3=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

$$f(x)=3x$$

Sprawdzenie dla drugiego punktu: $3\cdot4=12$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=3x$.

Kula biała:

$$P(B)=\frac{5}{12}$$

Zdarzenie przeciwne (kula nie jest biała):

$$P(B\prime)=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$$

Kontrola: czarnych jest $7$ z $12$, co daje ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $\frac{5}{12}$ oraz $\frac{7}{12}$.

Funkcja wykładnicza o podstawie większej od $1$ jest rosnąca.

Wartości. Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc zbiór wartości to $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie osiąga zera ani wartości ujemnych.

Odpowiedź: A. rosnąca i przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Krok 1 — pierwsza cyfra. Nie może być zerem, więc mamy $9$ możliwości.

Krok 2 — druga cyfra. Może być zerem, ale nie może powtórzyć pierwszej — zostaje $9$ możliwości.

Krok 3 — trzecia cyfra: $8$ możliwości.

$$9\cdot9\cdot8=648$$

Uwaga na pierwszą pozycję — to najczęstsze źródło błędu w takich zadaniach.

Odpowiedź: $648$.

Logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich:

$$D=(0,+\infty)$$

Dlaczego nie zero: nie ma takiego wykładnika, dla którego $2^y=0$ — potęga dwójki jest zawsze dodatnia.

Odpowiedź: C. $x>0$.

Krok 1 — poszczególne zdarzenia:

$$P(\text{as})=\frac{4}{52},\qquad P(\text{kier})=\frac{13}{52}$$

Krok 2 — część wspólna. As kier należy do obu grup:

$$P(\text{as i kier})=\frac{1}{52}$$

Krok 3 — wzór na sumę:

$$P=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$$

Dlaczego odejmujemy. Bez tego as kier zostałby policzony dwa razy. Sprawdzenie wprost: sprzyjających kart jest $4+13-1=16$ ✔

Odpowiedź: $\frac{4}{13}$.

Krok 1 — postać iloczynowa:

$$f(x)=a(x+2)(x-6)$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$ z podanego punktu:

$$-12=a\cdot2\cdot(-6)=-12a \quad\Rightarrow\quad a=1$$

Krok 3 — postać ogólna:

$$f(x)=(x+2)(x-6)=x^2-6x+2x-12=x^2-4x-12$$

Sprawdzenie: $f(0)=-12$ ✔, $f(-2)=4+8-12=0$ ✔, $f(6)=36-24-12=0$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=x^2-4x-12$.

Krok 1 — wszystkie możliwe delegacje. Wybieramy $2$ osoby z $26$, kolejność nie ma znaczenia:

$$\binom{26}{2}=\frac{26\cdot25}{2}=325$$

Krok 2 — delegacje złożone z dwóch dziewcząt:

$$\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66$$

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{66}{325}\approx0{,}203$$

Kontrola inną drogą. Losując po kolei: $\frac{12}{26}\cdot\frac{11}{25}=\frac{132}{650}=\frac{66}{325}$ ✔

Odpowiedź: $\frac{66}{325}\approx0{,}20$.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$$

Krok 2 — miejsce zerowe. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik (przy niezerowym mianowniku):

$$x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Wartość $-1$ należy do dziedziny ✔

Krok 3 — asymptota pionowa. Tam, gdzie mianownik się zeruje, a licznik nie:

$$x=2$$

Krok 4 — asymptota pozioma. Przekształćmy wzór:

$$\frac{x+1}{x-2}=\frac{(x-2)+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}$$

Gdy $x$ rośnie nieograniczenie, składnik $\frac{3}{x-2}$ zmierza do zera, więc wartości zbliżają się do $1$:

$$y=1$$

Bonus. Ta postać pokazuje też, że wykres to hiperbola $\frac3x$ przesunięta o wektor $[2,\,1]$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$, miejsce zerowe $x=-1$, asymptoty $x=2$ i $y=1$.

Rozwiązanie

Pierwsza cyfra $\ne0$: wybór z $\{5,7\}$ — $2$ możliwości. Pozostałe $4$ cyfry z $\{0,5,7\}$ — po $3$ możliwości. Łącznie $2\cdot3^4$.

Odpowiedź: C