Graniastosłupy — pole powierzchni i objętość

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości:

$$V=P_p\cdot H=24\cdot10=240\ \text{cm}^3$$

Pułapka: odpowiedź A ($80$) to wynik podzielenia przez $3$ — wzór z jedną trzecią dotyczy ostrosłupa, a nie graniastosłupa.

Odpowiedź: B. $240$ cm$^3$.

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:

$$V=P_p\cdot H$$

Uwaga: wzór $\frac13 P_p\cdot H$ dotyczy ostrosłupa, nie graniastosłupa. Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: B. $V=P_p\cdot H$.

Objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza niż graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości:

$$V=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot27\cdot8$$

Liczymy:

$$V=9\cdot8=72\ \text{cm}^3$$

Wskazówka rachunkowa: najpierw dziel to, co dzieli się bez reszty — $27:3=9$ jest wygodniejsze niż mnożenie $27\cdot8$ i dopiero potem dzielenie.

Odpowiedź: $V=72$ cm$^3$.

$$V=P_p\cdot H=12\cdot5=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60$ cm³.

1. $a^3=216 \Rightarrow a=6$. Przekątna: $a\sqrt3=6\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — przekątna ściany (kwadratu), a nie sześcianu.

Podstawą walca jest koło, więc:

$$V=\pi r^2 H=\pi\cdot3^2\cdot10=\pi\cdot9\cdot10=90\pi\ \text{cm}^3$$

Przybliżenie: $90\pi\approx282{,}7$ cm$^3$.

Uwaga: promień podnosimy do kwadratu, a wysokość zostaje w pierwszej potędze — to najczęstsze źródło pomyłek przy walcu.

Odpowiedź: $V=90\pi\approx283$ cm$^3$.

Sześcian to graniastosłup o kwadratowej podstawie, gdzie wszystkie krawędzie są równe:

$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $64$ cm³.

1. $d=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — suma krawędzi; C — przekątna ściany $2\times3$.

Stożek jest „ostrosłupem” o okrągłej podstawie, więc również ma współczynnik $\frac13$:

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot36\cdot5$$

Liczymy:

$$V=\frac13\cdot180\pi=60\pi$$

Pułapka: odpowiedź A ($180\pi$) to objętość walca o tych samych wymiarach — dokładnie trzy razy większa.

Odpowiedź: C. $60\pi$.

Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych o polu $a^2$ każda:

$$P=6a^2$$

Uwaga: $a^3$ to objętość sześcianu, a nie pole.

Odpowiedź: C. $6a^2$.

1. $P_p=\frac{16\sqrt3}4=4\sqrt3$, $V=4\sqrt3\cdot5=20\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — wzór dla ostrosłupa (z $\frac13$); B — podstawa jako kwadrat.

Objętość kuli:

$$V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi\ \text{cm}^3$$

Pole powierzchni kuli:

$$P=4\pi r^2=4\pi\cdot9=36\pi\ \text{cm}^2$$

Ciekawostka: dla $r=3$ obie liczby wychodzą równe $36\pi$, ale to przypadek — mają różne jednostki (cm$^3$ i cm$^2$) i nie należy ich utożsamiać.

Odpowiedź: $V=36\pi\approx113$ cm$^3$, $P=36\pi\approx113$ cm$^2$.

Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów:

$$V=3\cdot4\cdot5=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60$ cm³.

1. $V=\pi\cdot9\cdot5=45\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — wzór stożka; C — pole powierzchni bocznej $2\pi rH$.

Objętość:

$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Pole powierzchni — sześcian ma $6$ jednakowych ścian kwadratowych:

$$P=6a^2=6\cdot16=96\ \text{cm}^2$$

Przekątna sześcianu (łącząca przeciwległe wierzchołki):

$$d=a\sqrt3=4\sqrt3\approx6{,}93\ \text{cm}$$

Nie mylić z przekątną ściany, która wynosi $a\sqrt2=4\sqrt2\approx5{,}66$ cm — przekątna bryły jest zawsze dłuższa.

Odpowiedź: $V=64$ cm$^3$, $P=96$ cm$^2$, $d=4\sqrt3$ cm.

„Prawidłowy” oznacza, że w podstawie leży wielokąt foremny. Foremny czworokąt to kwadrat.

Analogicznie: graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, a sześciokątny — sześciokąt foremny.

Odpowiedź: A. kwadrat.

1. $H=\sqrt{100-36}=8$.
2. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — bez $\frac13$; C — wysokość zastąpiona tworzącą.

We wzorze $V=a^3$ krawędź występuje w trzeciej potędze:

$$V_2=(2a)^3=8a^3=8V_1$$

Sprawdźmy na liczbach: dla $a=3$ objętość to $27$, dla $a=6$ objętość to $216$. Rzeczywiście $216:27=8$.

Zestawienie warte zapamiętania: przy skali $k$ długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy. Odpowiedź C ($4$ razy) dotyczyłaby pola powierzchni.

Odpowiedź: A. $8$ razy.

Krok 1 — prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian. Pola par:

$$2\cdot3=6,\qquad 2\cdot4=8,\qquad 3\cdot4=12$$

Krok 2 — każda para występuje dwa razy:

$$P=2\cdot(6+8+12)=2\cdot26=52\ \text{cm}^2$$

Wzór ogólny: $P=2(ab+bc+ac)$.

Odpowiedź: $52$ cm².

1. $\tfrac43\pi r^3=36\pi \Rightarrow r^3=27 \Rightarrow r=3$.
2. $P=4\pi\cdot9=36\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pole koła wielkiego; D — $r^3$ zamiast pola.

Powierzchnia walca to dwie podstawy (koła) plus powierzchnia boczna (rozwinięta w prostokąt).

Krok 1 — pole podstaw:

$$2\pi r^2=2\pi\cdot16=32\pi$$

Krok 2 — pole boczne. Prostokąt ma wymiary: obwód podstawy razy wysokość:

$$2\pi r H=2\pi\cdot4\cdot6=48\pi$$

Krok 3 — sumujemy:

$$P=32\pi+48\pi=80\pi\ \text{cm}^2\approx251\ \text{cm}^2$$

Wzór zbiorczy: $P=2\pi r(r+H)=2\pi\cdot4\cdot10=80\pi$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $P=80\pi\approx251$ cm$^2$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$$

Krok 2 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=9\sqrt3\cdot10=90\sqrt3\approx155{,}9$$

Odpowiedź: $V=90\sqrt3$.

1. Trójkąt: wysokość ostrosłupa $4$, połowa krawędzi podstawy $3$, wysokość ściany — przeciwprostokątna.
2. $h_b=\sqrt{16+9}=5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — to krawędź boczna (z połową przekątnej $3\sqrt2$); B — użyta cała krawędź $6$.

Krok 1 — tworząca z twierdzenia Pitagorasa. Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole podstawy:

$$P_p=\pi r^2=9\pi$$

Krok 3 — pole boczne:

$$P_b=\pi r l=\pi\cdot3\cdot5=15\pi$$

Krok 4 — pole całkowite:

$$P=9\pi+15\pi=24\pi\ \text{cm}^2\approx75{,}4\ \text{cm}^2$$

Uwaga: w polu bocznym stożka występuje tworząca $l$, a nie wysokość $H$ — to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

Odpowiedź: $l=5$ cm, $P=24\pi\approx75$ cm$^2$.

Krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym z objętości:

$$a=\sqrt[3]{27}=3\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $3^3=27$ ✔

Odpowiedź: D. $3$ cm.

1. 1. $V_s=\tfrac13\pi r^2H=\tfrac13V_w$ — prawda.
2. 2. Po podwojeniu promienia: $\tfrac13\pi(2r)^2H=4\cdot\tfrac13\pi r^2H$ — objętość rośnie czterokrotnie — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy. Każda sześciokątna podstawa ma $6$ wierzchołków:

$$2\cdot6=12$$

Dla porządku pozostałe elementy: krawędzi jest $18$ ($6+6$ w podstawach i $6$ bocznych), a ścian $8$ ($2$ podstawy i $6$ bocznych).

Sprawdzenie wzorem Eulera: $W-K+S=12-18+8=2$ ✔

Odpowiedź: D. $12$ wierzchołków.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=4\cdot5=20\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — z wzoru $V=P_p\cdot H$ wyznaczamy $H$:

$$H=\frac{V}{P_p}=\frac{120}{20}=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $20\cdot6=120$ ✔

Odpowiedź: $H=6$ cm.

1. Krawędź podstawy: $a=8$, $P_p=64$. Połowa przekątnej: $4\sqrt2$.
2. Kąt $45^\circ$ → trójkąt równoramienny: $H=4\sqrt2$.
3. $V=\tfrac13\cdot64\cdot4\sqrt2=\dfrac{256\sqrt2}{3}$.

Odpowiedź: $V=\dfrac{256\sqrt2}{3}$

Podstawą jest kwadrat o boku $6$ cm.

Krok 1 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=36\cdot8=288\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — pole powierzchni. Dwie podstawy plus cztery prostokąty boczne:

$$P=2\cdot36+4\cdot(6\cdot8)=72+192=264\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — przekątna bryły. Najpierw przekątna podstawy:

$$d_p=6\sqrt2$$

Następnie przekątna bryły z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $d_p$ i $H$:

$$d=\sqrt{\left(6\sqrt2\right)^2+8^2}=\sqrt{72+64}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\approx11{,}7\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $V=288$ cm$^3$, $P=264$ cm$^2$, $d=2\sqrt{34}$ cm.

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy. Sześciokąt ma $6$ wierzchołków, więc:

$$2\cdot6=12$$

Dla porównania: krawędzi ma $18$ (po $6$ w każdej podstawie i $6$ bocznych), a ścian $8$ (dwie podstawy i sześć ścian bocznych).

Odpowiedź: B. $12$.

1. Trójkąt: $h_b=10$, kąt $60^\circ$ przy podstawie, przyprostokątne: $\frac a2$ i $H$.
2. $\frac a2=10\cos60^\circ=5 \Rightarrow a=10$; $H=10\sin60^\circ=5\sqrt3$.
3. $V=\tfrac13\cdot100\cdot5\sqrt3=\dfrac{500\sqrt3}{3}$.
4. $P_c=a^2+4\cdot\tfrac12\cdot a\cdot h_b=100+200=300$.

Odpowiedź: $V=\dfrac{500\sqrt3}{3}$, $P_c=300$

Krok 1 — objętość:

$$V=\frac13\cdot100\cdot12=\frac{1200}{3}=400\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — wysokość ściany bocznej. Tworzy ona trójkąt prostokątny z wysokością bryły i połową krawędzi podstawy:

$$h=\sqrt{H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \text{cm}$$

Kluczowa uwaga: drugą przyprostokątną jest połowa krawędzi podstawy ($5$ cm), bo wysokość ściany pada na środek boku. Użycie całych $10$ cm to najczęstszy błąd w tym typie zadania.

Odpowiedź: $V=400$ cm$^3$, wysokość ściany bocznej $13$ cm.

Korzystamy ze wzoru na przekątną prostopadłościanu:

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

$$d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$$

Skąd ten wzór: to dwukrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa — najpierw dla przekątnej podstawy, potem dla przekątnej przestrzennej.

Odpowiedź: $d=13$.

Przekrój osiowy powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

Dla walca taka płaszczyzna wycina prostokąt, którego jeden bok to średnica podstawy, a drugi to wysokość:

$$2r\times H=10\times8$$

Najczęstszy błąd: użycie promienia zamiast średnicy — stąd błędna odpowiedź C.

Dla porównania: przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a kuli — koło wielkie.

Odpowiedź: B. prostokąt $10\times8$.

Krok 1 — krawędź z pola. Pole to $6a^2$:

$$6a^2=96 \quad\Rightarrow\quad a^2=16 \quad\Rightarrow\quad a=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość:

$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $64$ cm³.

Krok 1 — przekątna podstawy. Kwadrat o boku $4$:

$$d_p=4\sqrt2$$

Krok 2 — identyfikujemy kąt. Przekątna bryły, przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Szukany kąt $\alpha$ leży między przekątną bryły a przekątną podstawy.

Krok 3 — tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta (wysokość bryły) do przyprostokątnej przy kącie (przekątna podstawy):

$$\tg\alpha=\frac{H}{d_p}=\frac{4}{4\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Przybliżenie: $\tg\alpha\approx0{,}71$, czyli $\alpha\approx35^\circ$.

Uwaga: kąt nachylenia do podstawy mierzymy względem rzutu przekątnej na podstawę, czyli względem przekątnej podstawy — nie względem krawędzi.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$.

Ściany boczne graniastosłupa prostego to prostokąty. Po „rozwinięciu” tworzą jeden duży prostokąt o wysokości $H$ i szerokości równej obwodowi podstawy:

$$P_b=O_p\cdot H$$

Pole całkowite: $P=P_b+2P_p$ — pole boczne plus dwie podstawy.

Odpowiedź: A. obwód podstawy razy wysokość.

Krok 1 — krawędź. Z $V=a^3$ wyciągamy pierwiastek trzeciego stopnia:

$$a=\sqrt[3]{125}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole powierzchni:

$$P=6a^2=6\cdot25=150\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie: $5^3=125$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: krawędź $5$ cm, pole powierzchni $150$ cm$^2$.

Krok 1 — objętość w cm³:

$$V=50\cdot30\cdot40=60\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry. Jeden litr to $1000$ cm³:

$$60\,000:1000=60\ \text{litrów}$$

Warto zapamiętać: $1$ dm³ $=1$ litr $=1000$ cm³.

Odpowiedź: $60$ litrów.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=3\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość kuli:

$$V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi\ \text{cm}^3$$

Pułapka: podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby $\frac43\pi\cdot216=288\pi$ — czyli błędną odpowiedź A, ośmiokrotnie za dużą.

Odpowiedź: C. $36\pi$ cm$^3$.

Objętość zależy od trzeciej potęgi krawędzi. Dla krawędzi $2a$:

$$V=(2a)^3=8a^3$$

To osiem razy więcej niż $a^3$.

Zależność wymiarów: długość rośnie $2$ razy, pole $2^2=4$ razy, objętość $2^3=8$ razy.

Odpowiedź: C. ośmiokrotnie.

Krok 1 — wysokość słupa wody:

$$h=\frac34\cdot50=37{,}5\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość wody:

$$V=80\cdot40\cdot37{,}5=120\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry. Kluczowa zależność:

$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$

$$120\,000:1000=120\ \text{litrów}$$

Kontrola sensu: całe akwarium ma $80\cdot40\cdot50=160\,000$ cm$^3$, czyli $160$ l. Trzy czwarte z tego to $120$ l ✔

Odpowiedź: wlano $120$ litrów wody.

Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):

$$P_p=6^2=36$$

Krok 2 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=36\cdot8=288$$

Krok 3 — pole boczne. Obwód podstawy to $4\cdot6=24$:

$$P_b=O_p\cdot H=24\cdot8=192$$

Krok 4 — pole całkowite:

$$P=P_b+2P_p=192+2\cdot36=192+72=264$$

Odpowiedź: $V=288$, $P=264$.

Krok 1 — ustalamy wymiary stożka. Przy obrocie wokół dłuższej przyprostokątnej to ona staje się wysokością, a krótsza zakreśla podstawę i staje się promieniem:

$$H=8\ \text{cm},\qquad r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi\ \text{cm}^3$$

Przybliżenie: $96\pi\approx301{,}6$ cm$^3$.

Warto porównać: obrót wokół krótszej przyprostokątnej dałby $H=6$ i $r=8$, czyli $V=\frac13\pi\cdot64\cdot6=128\pi$ — inną bryłę o większej objętości. Oś obrotu ma znaczenie.

Odpowiedź: $V=96\pi\approx302$ cm$^3$.

Krok 1 — krawędź z przekątnej ściany. Ściana to kwadrat, a jego przekątna to $a\sqrt2$:

$$a\sqrt2=5\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=5$$

Krok 2 — objętość:

$$V=a^3=5^3=125$$

Uwaga na rodzaj przekątnej. Chodziło o przekątną ściany ($a\sqrt2$), a nie przekątną przestrzenną sześcianu, która wynosi $a\sqrt3$. To dwie różne wielkości.

Odpowiedź: $V=125$.

Krok 1 — objętość walca:

$$V_w=\pi r^2 H=\pi\cdot25\cdot12=300\pi\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — objętość kuli:

$$V_k=\frac43\pi\cdot27=36\pi\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — stosunek objętości:

$$\frac{V_k}{V_w}=\frac{36\pi}{300\pi}=\frac{36}{300}=\frac{3}{25}=0{,}12$$

Symbol $\pi$ skraca się, więc wynik jest dokładny, bez zaokrągleń.

Sprawdzenie sensu: kula o średnicy $6$ cm swobodnie mieści się w walcu o średnicy $10$ cm i wysokości $12$ cm, więc wynik poniżej $100\%$ jest wiarygodny.

Odpowiedź: kula zajmuje $\frac{3}{25}$ objętości walca, czyli $12\%$.

Krok 1 — krawędź z przekątnej przestrzennej. Dla sześcianu przekątna wynosi $a\sqrt3$:

$$a\sqrt3=6\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Krok 2 — pole powierzchni:

$$P=6a^2=6\cdot36=216$$

Skąd wzór $a\sqrt3$: przekątna przestrzenna prostopadłościanu to $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, a dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc $\sqrt{3a^2}=a\sqrt3$.

Odpowiedź: $P=216$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot\sqrt3$$

Krok 3 — upraszczamy. Iloczyn $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$:

$$V=\frac13\cdot9\cdot3=9\ \text{cm}^3$$

Warto zauważyć: pierwiastki się zniosły i wynik jest liczbą całkowitą — to dobry sygnał, że rachunki są poprawne.

Odpowiedź: $V=9$ cm$^3$.

Krok 1 — przekątna podstawy. Podstawą jest kwadrat o boku $4$, więc jego przekątna to:

$$d_p=4\sqrt2$$

Krok 2 — wykorzystujemy kąt nachylenia. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą wynosi $45^\circ$:

$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{H}{d_p}$$

Krok 3 — wyznaczamy wysokość. Ponieważ $\operatorname{tg}45^\circ=1$:

$$H=d_p=4\sqrt2$$

Krok 4 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=16\cdot4\sqrt2=64\sqrt2\approx90{,}5$$

Dlaczego $H=d_p$. Kąt $45^\circ$ oznacza trójkąt prostokątny równoramienny — wysokość równa się przekątnej podstawy. To charakterystyczna cecha tego kąta.

Odpowiedź: $H=4\sqrt2$, $V=64\sqrt2$.

Trójkąt $ACH$ jest równoboczny — jego bokami są przekątne ścian sześcianu o długości $a\sqrt{2}$ (gdzie $a$ to krawędź).

Pole trójkąta równobocznego o boku $a\sqrt{2}$: $\dfrac{\left(a\sqrt{2}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2a^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$.

$\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\Rightarrow a^{2}=8\Rightarrow a=2\sqrt{2}$.

Odpowiedź: B.

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku $3$; jego pole: $P_{p}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 9=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$.

Wysokość graniastosłupa (krawędź boczna) $=3$.

$V=P_{p}\cdot H=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\cdot 3=\dfrac{81\sqrt{3}}{2}$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Obliczenie długości boku sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu, możemy zapisać, że:
$$V=a^3 \\
729=a^3 \\
a=9$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Sześcian o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Stąd też przekątna naszego sześcianu ma długość \(d=9\sqrt{3}\).

Krawędź: $a=\sqrt[3]{729}=9$.

Przekątna sześcianu: $d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.

Odpowiedź: A.

1. Krok 1. Wysokość graniastosłupa z objętości.

   Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku $a$): $P_{p}=\dfrac{a^{2}\sqrt3}{4}$. Z $V=P_{p}\cdot H=3456$:

   $$H=\frac{3456}{\frac{a^{2}\sqrt3}{4}}=\frac{13824}{a^{2}\sqrt3}.$$
2. Krok 2. Pole powierzchni całkowitej. $$P=2P_{p}+P_{b}=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt3}{4}+3\cdot a\cdot H=\frac{a^{2}\sqrt3}{2}+3a\cdot\frac{13824}{a^{2}\sqrt3}.$$
3. Krok 3. Uproszczenie składnika bocznego. $$3a\cdot\frac{13824}{a^{2}\sqrt3}=\frac{3\cdot 13824}{a\sqrt3}=\frac{41472}{a\sqrt3}=\frac{41472\sqrt3}{3a}=\frac{13824\sqrt3}{a}.$$

   Zatem $P(a)=\dfrac{a^{2}\sqrt3}{2}+\dfrac{13824\sqrt3}{a}.\ \blacksquare$

Rozwiązanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Pole sześciokąta obliczamy ze wzoru \(P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (czyli jest to po prostu sześć trójkątów równobocznych). Skoro więc to pole jest równe \(15\sqrt{3}\), to:
$$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4 \\
6\cdot(a^2\sqrt{3})=60\sqrt{3} \quad\bigg/:6 \\
a^2\sqrt{3}=10\sqrt{3} \\
a^2=10 \\
a=\sqrt{10} \quad\lor\quad a=-\sqrt{10}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{10}\).

Krok 2. Obliczenie pola jednej ściany bocznej.
Interesująca nas ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a=\sqrt{10}\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\sqrt{10}\cdot6 \\
P=6\sqrt{10}$$

Rozwiązanie 2.
Poszukiwany kąt znajduje się na rysunku z czwartej odpowiedzi.

Trzy kolejne parzyste liczby, w których największa to $p$, to $p-4,\ p-2,\ p$.

$V=(p-4)(p-2)p=p\left(p^{2}-6p+8\right)=p^{3}-6p^{2}+8p$.

Odpowiedź: D.

1. Krok 1. Układ współrzędnych.

   Przyjmijmy $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$, $C=(6,6,0)$, $D=(0,6,0)$ oraz $E=(0,0,6)$, $F=(6,0,6)$, $G=(6,6,6)$, $H=(0,6,6)$.

   $S$ to środek ściany $ADHE$ (przecięcie jej przekątnych): $S=\left(0,\,3,\,3\right)$.

2. Krok 2. Boki trójkąta $SBH$.

   $B=(6,0,0)$, $H=(0,6,6)$, $S=(0,3,3)$.

   $$|BH|=\sqrt{(-6)^2+6^2+6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt3.$$
3. Krok 3. Pole trójkąta z iloczynu wektorowego.

   $\vec{BS}=(-6,3,3)$, $\vec{BH}=(-6,6,6)$. Wtedy

   $$\vec{BS}\times\vec{BH}=\big(3\cdot6-3\cdot6,\ -((-6)\cdot6-3\cdot(-6)),\ (-6)\cdot6-3\cdot(-6)\big)=(0,\,18,\,-18),$$ $$\big|\vec{BS}\times\vec{BH}\big|=\sqrt{0+324+324}=18\sqrt2,\qquad P_{SBH}=\tfrac12\cdot18\sqrt2=9\sqrt2.$$
4. Krok 4. Wysokość na bok $BH$. $$h=\frac{2\,P_{SBH}}{|BH|}=\frac{2\cdot 9\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{18\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt6.$$

   Odpowiedź: wysokość ma długość $\sqrt6$.

Rozwiązanie

1. Przekątna podstawy (kwadrat) $=15\sqrt2$ — jest to rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę.
2. $\cos\alpha=\dfrac{15\sqrt2}{d}=\dfrac{\sqrt2}{3}\Rightarrow d=\dfrac{15\sqrt2\cdot3}{\sqrt2}=45$.

Odpowiedź: B

Dla każdej pary przeciwległych ścian suma odległości punktu $P$ od nich jest równa krawędzi, czyli $5$.

Ściany tworzą $3$ takie pary, więc suma wszystkich odległości wynosi $3\cdot 5=15$.

Odpowiedź: A.