Funkcje i ich własności — powtórzenie

Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie $18$:

$$18=9\cdot2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt2=3\sqrt2$$

Sprawdzenie: $3\sqrt2\approx4{,}24$, a $\sqrt{18}\approx4{,}24$ ✔

Odpowiedź: C. $3\sqrt2$.

Mianownik nie może być zerem: $x-5\neq0$, czyli $x\neq5$.

$$D=\mathbb{R}\setminus\{5\}$$

Odpowiedź: C.

$$\frac{4+7+10+11}{4}=\frac{32}{4}=8$$

Odpowiedź: C. $8$.

Pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być liczba nieujemna:

$$x-3\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge3$$

Nawias domknięty, bo dla $x=3$ mamy $\sqrt0=0$ — wartość istnieje.

Odpowiedź: B. $\langle3,+\infty)$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $2$:

$$2^6=64 \quad\Rightarrow\quad \log_2 64=6$$

Potęgi dwójki warto znać: $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$.

Odpowiedź: B. $6$.

Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$3x-12=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 12$$

Krok 2 — środkowy wyraz. Elementów jest $5$ (nieparzysta liczba), więc mediana to trzeci wyraz:

$$7$$

Uwaga: uporządkowanie danych jest obowiązkowe — bez niego mediana wyjdzie błędna.

Odpowiedź: $7$.

$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$

Liczba ustawień $n$ różnych elementów to właśnie $n!$, więc odpowiedź na oba pytania jest ta sama.

Odpowiedź: $120$.

Krok 1 — przyjmijmy cenę początkową $100$ zł (to nie ogranicza ogólności).

Krok 2 — po podwyżce:

$$100\cdot1{,}2=120\ \text{zł}$$

Krok 3 — po obniżce (liczonej już od $120$ zł):

$$120\cdot0{,}8=96\ \text{zł}$$

Krok 4 — zmiana względem początku:

$$\frac{96-100}{100}=-0{,}04=-4\%$$

Dlaczego nie zero: obniżka jest liczona od większej kwoty niż podwyżka, więc odejmuje więcej złotówek.

Odpowiedź: cena spadła o $4\%$.

Podstawiamy $x=-2$:

$$f(-2)=(-2)^2-3\cdot(-2)=4+6=10$$

Uwaga na znaki: $(-2)^2=4$ (dodatnie), a $-3\cdot(-2)=+6$.

Odpowiedź: $f(-2)=10$.

Zliczamy wystąpienia:

• $2$ — dwa razy
• $5$ — trzy razy
• $7$ — raz
• $9$ — raz

Najczęściej pojawia się $5$.

Odpowiedź: dominanta to $5$.

Rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa:

$$P=\frac16\cdot\frac16=\frac{1}{36}$$

Kontrola: wszystkich wyników dwóch rzutów jest $36$, a sprzyja tylko jeden ✔

Odpowiedź: $\frac{1}{36}$.

Krok 1 — wyróżnik:

$$\Delta=25-24=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Sprawdzenie wzorami Viete: $2+3=5$ ✔ oraz $2\cdot3=6$ ✔

Odpowiedź: $x=2$ lub $x=3$.

Kwadrat jest nieujemny, więc $x^2+3\ge3$. Wartość najmniejszą $3$ funkcja osiąga dla $x=0$.

$$ZW=\langle 3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: A.

Elementów jest $4$ — liczba parzysta, więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{4+6}{2}=5$$

Zapamiętaj: przy parzystej liczbie danych mediana zwykle nie należy do zestawu.

Odpowiedź: B. $5$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje znak współczynnika kierunkowego:

$$a=-3<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja malejąca}$$

Odpowiedź: C. malejąca.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy $a$:

$$a=-3<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja maleje}$$

Wyraz wolny $b=7$ przesuwa wykres pionowo, ale nie wpływa na monotoniczność.

Odpowiedź: A.

$$48=16\cdot3$$

$$\sqrt{48}=\sqrt{16}\cdot\sqrt3=4\sqrt3$$

Odpowiedź: $4\sqrt3$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Na każdej z czterech pozycji mamy $10$ możliwości:

$$10^4=10\,000$$

Odpowiedź: $10\,000$.

Krok 1 — wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$a_{10}=5+9\cdot3=5+27=32$$

Krok 2 — suma pierwszych $n$ wyrazów:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

$$S_{10}=\frac{5+32}{2}\cdot10=\frac{37}{2}\cdot10=185$$

Odpowiedź: $a_{10}=32$, $S_{10}=185$.

Na osi OY zawsze $x=0$:

$$f(0)=-2\cdot0+5=5$$

Punkt przecięcia to $(0,\,5)$ — to wprost wyraz wolny funkcji liniowej.

Odpowiedź: D. $(0,\,5)$.

Mediana zależy tylko od pozycji środkowej, więc pojedyncza skrajna wartość jej nie przesuwa.

Przykład: dla zestawu $1$, $2$, $3$ średnia i mediana wynoszą $2$. Po zamianie trójki na $100$ średnia skacze do $34{,}3$, a mediana nadal wynosi $2$.

Odpowiedź: A. mediana.

Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejsza wartość wypada dla $x=0$:

$$f(0)=-4$$

Wartość $-4$ jest osiągana, więc nawias domykamy.

Odpowiedź: A. $\langle-4,+\infty)$.

Średnica odpowiada kątowi środkowemu $180^\circ$, a kąt wpisany jest o połowę mniejszy:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa — kąt oparty na średnicy jest zawsze prosty.

Odpowiedź: D. $90^\circ$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{5-(-1)}{2-0}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $(0,\,-1)$ jest na osi OY, więc $b=-1$.

$$y=3x-1$$

Odpowiedź: $y=3x-1$.

Krok 1 — suma pięciu liczb:

$$5\cdot12=60$$

Krok 2 — suma sześciu liczb:

$$6\cdot13=78$$

Krok 3 — nowa liczba:

$$78-60=18$$

Odpowiedź: $18$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Szukamy liczb o sumie $8$ i iloczynie $15$:

$$x_1=3,\qquad x_2=5$$

Krok 2 — wierzchołek:

$$p=\frac{8}{2}=4,\qquad q=f(4)=16-32+15=-1$$

$$W=(4,-1)$$

Kontrola: wierzchołek leży w połowie między pierwiastkami — $\frac{3+5}{2}=4$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{3,\,5\}$, $W=(4,-1)$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Podstawiamy:

$$|AB|=\sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Uwaga na podwójny minus: $3-(-1)=4$, nie $2$.

Odpowiedź: $|AB|=5$.

$$\log_2 8=3,\qquad \log_2 2=1$$

$$3+1=4$$

Sprawdzenie wzorem: $\log_2 8+\log_2 2=\log_2 16=4$ ✔

Odpowiedź: B. $4$.

Liczymy średnią ważoną — grupy mają różną liczebność:

$$\bar{x}=\frac{10\cdot4+15\cdot5}{10+15}=\frac{40+75}{25}=\frac{115}{25}=4{,}6$$

Częsty błąd: zwykła średnia z $4$ i $5$ dałaby $4{,}5$ — ignoruje to, że piątek jest więcej.

Odpowiedź: $4{,}6$.

Rozpoznanie. W delegacji kolejność nie ma znaczenia — liczy się tylko skład. To kombinacje.

$$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120$$

Dla porównania: gdyby role były różne (przewodniczący, zastępca, sekretarz), byłoby $10\cdot9\cdot8=720$ możliwości.

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Krok 1 — przenosimy stałą:

$$2x\ge 6$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak zostaje):

$$x\ge 3$$

Krok 3 — zapis przedziałem:

$$x\in\langle 3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in\langle 3,\,+\infty)$.

Wyróżnik:

$$\Delta=25-24=1,\qquad \sqrt\Delta=1$$

Pierwiastki:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Odpowiedź: $x=2$ i $x=3$.

Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejsza wartość wypada dla $x=0$:

$$f(0)=3$$

Wartość $3$ jest osiągana, więc nawias domykamy.

Odpowiedź: D. $\langle3,+\infty)$.

Rzuty są niezależne:

$$P=\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}$$

Kontrola: wszystkich wyników jest $2^4=16$, a sprzyja jeden ✔

Odpowiedź: D. $\frac{1}{16}$.

Twierdzenie Pitagorasa:

$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$

Warto zapamiętać trójkę pitagorejską $5$–$12$–$13$ — obok $3$–$4$–$5$ pojawia się najczęściej.

Pułapka: odpowiedź A to suma przyprostokątnych, a nie przeciwprostokątna.

Odpowiedź: B. $13$.

Cena po podwyżce to $125\%$ ceny początkowej, więc dzielimy:

$$250:1{,}25=200\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $200\cdot1{,}25=250$ ✔

Pułapka: odjęcie $25\%$ od $250$ dałoby błędne $187{,}50$ zł.

Odpowiedź: A. $200$ zł.

Krok 1 — porządkujemy:

$$8,\ 8,\ 12,\ 15,\ 17,\ 20$$

Krok 2 — rozstęp (różnica największej i najmniejszej):

$$20-8=12$$

Krok 3 — mediana. Sześć elementów, więc średnia trzeciego i czwartego:

$$\frac{12+15}{2}=13{,}5$$

Odpowiedź: rozstęp $12$, mediana $13{,}5$.

Krok 1 — mianownik różny od zera:

$$x^2-4\neq0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-2)(x+2)\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq2 \ \text{oraz}\ x\neq-2$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$

Najczęstszy błąd: pominięcie pierwiastka ujemnego.

Odpowiedź: $\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.

Odczytujemy wartości kątów szczególnych:

$$\sin 30^\circ=\frac12,\qquad \cos 60^\circ=\frac12,\qquad \tg 45^\circ=1$$

Sumujemy:

$$\frac12+\frac12+1=2$$

Warto zauważyć: $\sin 30^\circ=\cos 60^\circ$ — to nie przypadek, lecz własność kątów dopełniających: $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$.

Odpowiedź: $2$.

W postaci kanonicznej $y=a(x-p)^2+q$ wartość najmniejsza (dla $a>0$) to $q$:

$$q=2$$

Osiągana jest dla $x=3$ (gdy nawias się zeruje).

Odpowiedź: C. $2$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje znak współczynnika kierunkowego:

$$a=-2<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja malejąca}$$

Odpowiedź: B. malejąca.

$$\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Interpretacja: tyle jest sposobów wyboru $2$ elementów z $6$ bez uwzględniania kolejności — na przykład tyle par można utworzyć z $6$ osób.

Odpowiedź: B. $15$.

Krok 1 — wzór ogólny:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

$$a_5=3\cdot2^4=3\cdot16=48$$

Krok 2 — suma (dla $q\neq1$):

$$S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$$

$$S_5=3\cdot\frac{2^5-1}{2-1}=3\cdot\frac{31}{1}=93$$

Sprawdzenie: wyrazy to $3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$, a ich suma $=93$ ✔

Odpowiedź: $a_5=48$, $S_5=93$.

$$2x>6 \quad\Rightarrow\quad x>3$$

$$x\in(3,\,+\infty)$$

Nawias okrągły: nierówność ostra, więc $3$ nie należy.

Odpowiedź: $x\in(3,\,+\infty)$.

Miejsce zerowe — rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$3x-15=0 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Przecięcie z osią $OY$ — obliczamy $f(0)$:

$$f(0)=-15 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,-15)$$

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=5$, punkt $(0,-15)$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{12-3}{4-1}=\frac93=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z pierwszego punktu:

$$3=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

$$f(x)=3x$$

Sprawdzenie dla drugiego punktu: $3\cdot4=12$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=3x$.

Wszystkie możliwe wyniki: OO, OR, RO, RR — jest ich $4$.

Sprzyjający jest tylko jeden (OO):

$$P=\frac{1}{4}$$

Uwaga: wyniki OR i RO to różne zdarzenia elementarne, mimo że „jeden orzeł i jedna reszka” brzmi tak samo — dlatego mianownik to $4$, a nie $3$.

Odpowiedź: C. $\frac14$.

$$|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Uwaga na podwójny minus: $2-(-1)=3$.

Odpowiedź: $|AB|=5$.

Krok 1 — kolejność. Skoro $x<6$, uporządkowany zestaw to $x$, $6$, $9$, $11$.

Krok 2 — mediana to średnia dwóch środkowych, czyli $6$ i $9$:

$$\frac{6+9}{2}=7{,}5 \ ✔$$

Wniosek: mediana wynosi $7{,}5$ niezależnie od wartości $x$, o ile tylko $x<6$ — bo $x$ nie trafia na pozycję środkową.

Odpowiedź: każde $x<6$ spełnia warunek; mediana nie zależy od $x$.

Kula biała:

$$P(B)=\frac{5}{12}$$

Zdarzenie przeciwne (kula nie jest biała):

$$P(B\prime)=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$$

Kontrola: czarnych jest $7$ z $12$, co daje ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $\frac{5}{12}$ oraz $\frac{7}{12}$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest kwadrat:

$$P_p=5^2=25\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=25\cdot8=200\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $V=200$ cm$^3$.

Funkcja wykładnicza $a^x$ dla podstawy $a>1$ jest rosnąca. Tutaj $a=2>1$.

Sprawdzenie: $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=4$ — wartości rosną.

Odpowiedź: B. rosnąca.

Z postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ odczytujemy wierzchołek $W=(p,\,q)$:

$$p=2,\qquad q=5$$

Uwaga na znak: w nawiasie jest $(x-2)$, więc $p=2$ — nie $-2$.

Odpowiedź: C. $(2,\,5)$.

Funkcja wykładnicza o podstawie większej od $1$ jest rosnąca.

Wartości. Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc zbiór wartości to $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie osiąga zera ani wartości ujemnych.

Odpowiedź: A. rosnąca i przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-3}{2-0}=\frac42=2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi OY, więc od razu $b=3$.

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie dla $B$: $2\cdot2+3=7$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

$$S=\left(\frac{1+7}{2},\ \frac{3+9}{2}\right)=(4,\,6)$$

Odpowiedź: $S=(4,\,6)$.

Krok 1 — suma dotychczasowa:

$$5\cdot3{,}8=19$$

Krok 2 — potrzebna suma:

$$6\cdot4=24$$

Krok 3 — szukana ocena:

$$24-19=5$$

Odpowiedź: musi dostać $5$.

Krok 1 — pierwsza cyfra. Nie może być zerem, więc mamy $9$ możliwości.

Krok 2 — druga cyfra. Może być zerem, ale nie może powtórzyć pierwszej — zostaje $9$ możliwości.

Krok 3 — trzecia cyfra: $8$ możliwości.

$$9\cdot9\cdot8=648$$

Uwaga na pierwszą pozycję — to najczęstsze źródło błędu w takich zadaniach.

Odpowiedź: $648$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco (to warunek konieczny):

$$2,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9$$

Krok 2 — liczb jest $5$ (nieparzyście), więc mediana to element środkowy:

$$\text{mediana}=6$$

Pułapka: odpowiedź C ($5{,}6$) to średnia arytmetyczna, a nie mediana.

Odpowiedź: A. $6$.

Licznik to różnica kwadratów:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$$

Odpowiedź: D. $x+3$.

Funkcja parzysta spełnia $f(-x)=f(x)$ — argumenty przeciwne dają tę samą wartość, więc wykres odbija się w osi $OY$.

Dla porównania: funkcja nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$) ma wykres symetryczny względem początku układu.

Odpowiedź: A. osi $OY$.

Logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich:

$$D=(0,+\infty)$$

Dlaczego nie zero: nie ma takiego wykładnika, dla którego $2^y=0$ — potęga dwójki jest zawsze dodatnia.

Odpowiedź: C. $x>0$.

Krok 1 — kierunek ramion. $a=1>0$, więc funkcja ma wartość najmniejszą w wierzchołku.

Krok 2 — argument:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3 — wartość:

$$q=3^2-6\cdot3+11=9-18+11=2$$

Alternatywnie — postać kanoniczna $f(x)=(x-3)^2+2$ pokazuje to wprost.

Odpowiedź: wartość najmniejsza $2$ dla $x=3$.

Współczynnik $a=-1<0$, więc funkcja ma wartość największą w wierzchołku.

Krok 1 — argument wierzchołka:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$$

Krok 2 — wartość:

$$f(2)=-4+8+1=5$$

Odpowiedź: wartość największa to $5$ (dla $x=2$).

Średnia:

$$\frac{2+4+4+6+9}{5}=\frac{25}{5}=5$$

Mediana — dane są już uporządkowane, środkowy wyraz to trzeci:

$$4$$

Dominanta — najczęstsza wartość:

$$4$$

Interpretacja. Średnia $5$ jest zawyżona przez pojedynczą dużą wartość $9$. Mediana i dominanta zgodnie wskazują $4$ — i to lepiej oddaje typowy przypadek. Przy danych z wartościami odstającymi mediana jest bezpieczniejszym opisem niż średnia.

Odpowiedź: średnia $5$, mediana $4$, dominanta $4$; najlepiej opisuje dane mediana.

Krok 1 — poszczególne zdarzenia:

$$P(\text{as})=\frac{4}{52},\qquad P(\text{kier})=\frac{13}{52}$$

Krok 2 — część wspólna. As kier należy do obu grup:

$$P(\text{as i kier})=\frac{1}{52}$$

Krok 3 — wzór na sumę:

$$P=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$$

Dlaczego odejmujemy. Bez tego as kier zostałby policzony dwa razy. Sprawdzenie wprost: sprzyjających kart jest $4+13-1=16$ ✔

Odpowiedź: $\frac{4}{13}$.

Krok 1 — wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Krok 2 — podstawiamy dane:

$$84=\frac{(10+18)\cdot h}{2}=\frac{28h}{2}=14h$$

Krok 3 — wyznaczamy $h$:

$$h=\frac{84}{14}=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{28\cdot6}{2}=84$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$16=2^4 \quad\Rightarrow\quad 2^{x+1}=2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$x+1=4 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: $2^{3+1}=2^4=16$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — warunek: mianownik różny od zera.

$$x^2-9\neq0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-3)(x+3)\neq0$$

Krok 3 — wykluczamy oba pierwiastki:

$$x\neq3 \quad\text{oraz}\quad x\neq-3$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$$

Najczęstszy błąd: pominięcie pierwiastka ujemnego.

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$.

Krok 1 — postać iloczynowa:

$$f(x)=a(x+2)(x-6)$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$ z podanego punktu:

$$-12=a\cdot2\cdot(-6)=-12a \quad\Rightarrow\quad a=1$$

Krok 3 — postać ogólna:

$$f(x)=(x+2)(x-6)=x^2-6x+2x-12=x^2-4x-12$$

Sprawdzenie: $f(0)=-12$ ✔, $f(-2)=4+8-12=0$ ✔, $f(6)=36-24-12=0$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=x^2-4x-12$.

Wzór na procent składany:

$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$

Podstawiamy:

$$K_2=5000\cdot1{,}04^2=5000\cdot1{,}0816=5408\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po pierwszym roku $5000\cdot1{,}04=5200$ zł, po drugim $5200\cdot1{,}04=5408$ zł ✔

Porównanie: bez kapitalizacji byłoby $5400$ zł — dodatkowe $8$ zł to odsetki od odsetek.

Odpowiedź: $5408$ zł.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Proste równoległe mają ten sam, więc $a=3$.

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$2=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=-1$$

$$y=3x-1$$

Sprawdzenie: $3\cdot1-1=2$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-1$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyróżnik:

$$\Delta=36-20=16,\qquad \sqrt\Delta=4$$

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5$$

Krok 2 — wierzchołek:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3,\qquad q=f(3)=9-18+5=-4$$

$$W=(3,\,-4)$$

Krok 3 — zbiór wartości. Ramiona w górę ($a=1>0$), więc wierzchołek wyznacza minimum:

$$ZW=\langle-4,+\infty)$$

Kontrola: wierzchołek leży w połowie między pierwiastkami — $\frac{1+5}{2}=3$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{1,\,5\}$, $W=(3,\,-4)$, $ZW=\langle-4,+\infty)$.

Krok 1 — wszystkie możliwe delegacje. Wybieramy $2$ osoby z $26$, kolejność nie ma znaczenia:

$$\binom{26}{2}=\frac{26\cdot25}{2}=325$$

Krok 2 — delegacje złożone z dwóch dziewcząt:

$$\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66$$

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{66}{325}\approx0{,}203$$

Kontrola inną drogą. Losując po kolei: $\frac{12}{26}\cdot\frac{11}{25}=\frac{132}{650}=\frac{66}{325}$ ✔

Odpowiedź: $\frac{66}{325}\approx0{,}20$.

Krok 1 — pierwsze losowanie. Czarnych jest $6$ z $10$:

$$P_1=\frac{6}{10}=\frac35$$

Krok 2 — drugie losowanie. Po wyjęciu jednej czarnej zostaje $5$ czarnych z $9$ kul:

$$P_2=\frac{5}{9}$$

Krok 3 — reguła mnożenia:

$$P=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{15}{45}=\frac13$$

Kluczowe: przy losowaniu bez zwracania w drugim kroku zmniejszają się obie liczby — i czarnych kul, i wszystkich.

Odpowiedź: $\frac13$.

Krok 1 — kwota po dwóch latach (procent składany):

$$K_2=8000\cdot1{,}05^2=8000\cdot1{,}1025=8820\ \text{zł}$$

Krok 2 — odsetki to różnica względem kapitału początkowego:

$$8820-8000=820\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po roku $8000\cdot1{,}05=8400$, po drugim $8400\cdot1{,}05=8820$ ✔

Odpowiedź: kwota końcowa $8820$ zł, odsetki $820$ zł.

Krok 1 — średnia wyjściowa:

$$\frac{3+5+7+9}{4}=\frac{24}{4}=6$$

Krok 2 — warunek na nową liczbę. Skoro średnia ma zostać taka sama, suma pięciu liczb musi wynosić $5\cdot6=30$:

$$30-24=6$$

Wniosek: dodana liczba jest równa dotychczasowej średniej — to reguła ogólna, nie przypadek.

Krok 3 — mediana przed. Cztery elementy, więc średnia dwóch środkowych:

$$\frac{5+7}{2}=6$$

Krok 4 — mediana po. Zestaw $3$, $5$, $6$, $7$, $9$ — środkowy wyraz to trzeci:

$$6$$

Odpowiedź: dodano $6$; mediana pozostała równa $6$.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$$

Krok 2 — miejsce zerowe. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik (przy niezerowym mianowniku):

$$x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Wartość $-1$ należy do dziedziny ✔

Krok 3 — asymptota pionowa. Tam, gdzie mianownik się zeruje, a licznik nie:

$$x=2$$

Krok 4 — asymptota pozioma. Przekształćmy wzór:

$$\frac{x+1}{x-2}=\frac{(x-2)+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}$$

Gdy $x$ rośnie nieograniczenie, składnik $\frac{3}{x-2}$ zmierza do zera, więc wartości zbliżają się do $1$:

$$y=1$$

Bonus. Ta postać pokazuje też, że wykres to hiperbola $\frac3x$ przesunięta o wektor $[2,\,1]$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$, miejsce zerowe $x=-1$, asymptoty $x=2$ i $y=1$.