Krok 1. Opuszczenie zewnętrznej wartości bezwzględnej.

\(|x-4|-2=2\) lub \(|x-4|-2=-2\)

\(|x-4|=4\) lub \(|x-4|=0\)

Krok 2. Rozwiązanie każdego z równań.

\(|x-4|=4\Rightarrow x-4=4\;\vee\;x-4=-4\Rightarrow x=8\;\vee\;x=0\)

\(|x-4|=0\Rightarrow x=4\)

Krok 3. Zliczenie rozwiązań.

Otrzymaliśmy trzy różne liczby: \(0\), \(4\), \(8\).

Odpowiedź: D.

Krok 1. Sprowadzenie do wspólnej podstawy.

\(\log_4 25=\frac{\log_2 25}{\log_2 4}=\frac{\log_2 5^2}{2}=\frac{2\log_2 5}{2}=\log_2 5\)

Krok 2. Suma logarytmów.

\(\log_2 5+\log_2 10=\log_2(5\cdot 10)=\log_2 50\)

Odpowiedź: B.

W jednokładności o środku \(S\) i skali \(k\) zachodzi \(\vec{SP'}=k\cdot\vec{SP}\).

Krok 1. Wektory.

\(\vec{SP}=[1-(-2),\;3-12]=[3,-9]\)

\(\vec{SP'}=[3-(-2),\;-3-12]=[5,-15]\)

Krok 2. Skala.

\([5,-15]=k\cdot[3,-9]\)

\(5=3k\Rightarrow k=\frac{5}{3}\)

(druga współrzędna daje ten sam wynik: \(-15=-9k\Rightarrow k=\frac{5}{3}\) ✓)

Odpowiedź: B.

Krok 1. Pochodna ilorazu.

\(f'(x)=\frac{1\cdot(2x-8)-x\cdot 2}{(2x-8)^2}=\frac{2x-8-2x}{(2x-8)^2}=\frac{-8}{(2x-8)^2}\)

Ponieważ \((2x-8)^2=4(x-4)^2\):

\(f'(x)=\frac{-8}{4(x-4)^2}=\frac{-2}{(x-4)^2}\)

Krok 2. Wartość dla \(x=\sqrt{2}+4\).

\((x-4)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)

\(f'\left(\sqrt{2}+4\right)=\frac{-2}{2}=-1\)

Odpowiedź: C.

Krok 1. Zapisanie warunków.

\(q=3a_1\) oraz \(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{4}\)

Krok 2. Równanie z jedną niewiadomą.

\(\frac{a_1}{1-3a_1}=\frac{1}{4}\)

\(4a_1=1-3a_1\)

\(7a_1=1\Rightarrow a_1=\frac{1}{7}\)

Krok 3. Sprawdzenie warunku zbieżności.

\(q=3\cdot\frac{1}{7}=\frac{3}{7}\), a \(\left|\frac{3}{7}\right|\lt 1\) ✓

Odpowiedź: B.

Krok 1. Postać iloczynowa.

Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-1\), a miejsca zerowe to \(-1\) i \(12\):

\(f(x)=-(x+1)(x-12)\)

Krok 2. Wierzchołek paraboli.

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja przyjmuje wartość największą w wierzchołku:

\(x_w=\frac{-1+12}{2}=\frac{11}{2}=5{,}5\)

Krok 3. Największa wartość.

\(f(5{,}5)=-(5{,}5+1)(5{,}5-12)=-6{,}5\cdot(-6{,}5)=42{,}25\)

Odpowiedź: \(2\), \(2\), \(5\) (wynik \(42{,}25\))

Krok 1. Odpowiednie pogrupowanie składników.

Rozbijamy \(5x^2\) na \(4x^2+x^2\):

\(5x^2+y^2-4xy+6x+9=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+6x+9\right)\)

Krok 2. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

\(4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2\)

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)

Zatem:

\(5x^2+y^2-4xy+6x+9=(2x-y)^2+(x+3)^2\)

Krok 3. Wniosek.

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma \((2x-y)^2+(x+3)^2\) jest nieujemna dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

Tym samym dana nierówność jest prawdziwa. \(\blacksquare\)

Uwaga: równość zachodzi tylko dla \(x=-3\) i \(y=-6\).

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(\gamma\).

Z sumy kątów w trójkącie: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Podstawiając \(\alpha+\beta=2\gamma\):

\(2\gamma+\gamma=180^\circ\Rightarrow\gamma=60^\circ\)

Stąd \(\alpha+\beta=120^\circ\).

Krok 2. Kąt \(ASB\).

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu wpisanego, więc \(AS\) i \(BS\) są dwusiecznymi kątów \(\alpha\) i \(\beta\). W trójkącie \(ABS\):

\(|\angle ASB|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\)

Krok 3. Kąt czworokąta przy wierzchołku \(S\).

Kąt \(DSE\) (kąt czworokąta \(DCES\) przy wierzchołku \(S\)) i kąt \(ASB\) są kątami wierzchołkowymi, więc:

\(|\angle DSE|=|\angle ASB|=120^\circ\)

Krok 4. Warunek wpisania czworokąta w okrąg.

W czworokącie \(DCES\) kąty przy wierzchołkach \(C\) i \(S\) są przeciwległe:

\(|\angle DCE|+|\angle DSE|=\gamma+120^\circ=60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

Suma miar przeciwległych kątów czworokąta jest równa \(180^\circ\), a to oznacza, że na czworokącie \(DCES\) można opisać okrąg. \(\blacksquare\)

Krok 1. Warunek podzielności przez \(5\).

Liczba podzielna przez \(15\) jest podzielna przez \(3\) i przez \(5\). Ostatnia cyfra musi być równa \(0\) lub \(5\), a dysponujemy tylko cyframi \(0,1,2\), więc ostatnią cyfrą jest \(0\).

Liczba ma postać \(\overline{d_1d_2d_3d_4 0}\), gdzie \(d_1\in\{1,2\}\) oraz \(d_2,d_3,d_4\in\{0,1,2\}\).

Krok 2. Warunek podzielności przez \(3\).

Suma \(d_1+d_2+d_3+d_4\) musi być podzielna przez \(3\).

Krok 3. Zliczanie.

Ustalmy dowolnie \(d_1\) (\(2\) możliwości) oraz \(d_2\) i \(d_3\) (po \(3\) możliwości). Wśród cyfr \(0,1,2\) każda daje inną resztę z dzielenia przez \(3\), więc dokładnie jedna wartość \(d_4\) uzupełni sumę do wielokrotności \(3\).

\(2\cdot 3\cdot 3\cdot 1=18\)

Sprawdzenie (podział na przypadki sumy cyfr): \(1+1+1+0\) — \(3\) liczby, \(2+2+2+0\) — \(3\) liczby, \(1+1+2+2\) — \(\binom{4}{2}=6\) liczb, \(1+2+0+0\) — \(6\) liczb; razem \(3+3+6+6=18\) ✓

Odpowiedź: można utworzyć \(18\) takich liczb.

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(q=a_1\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego, a \(r=b_1\) — różnicą ciągu arytmetycznego.

Krok 2. Układ równań.

Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

\(S_8=\frac{2a_1+7r}{2}\cdot 8=8q+28r=124\), czyli \(2q+7r=31\)

Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego:

\(b_1+b_2=r+rq=r(1+q)=18\)

Krok 3. Rozwiązanie układu.

Z drugiego równania \(q=\frac{18}{r}-1\). Podstawiamy do pierwszego:

\(2\left(\frac{18}{r}-1\right)+7r=31\)

\(\frac{36}{r}+7r=33\)

\(7r^2-33r+36=0\)

\(\Delta=1089-1008=81\), \(\;\sqrt{\Delta}=9\)

\(r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\) lub \(r=\frac{33+9}{14}=3\)

Krok 4. Wybór rozwiązania.

Wyrazy ciągu \((a_n)\) mają być liczbami całkowitymi, więc różnica \(r\) musi być całkowita. Odrzucamy \(r=\frac{12}{7}\).

Dla \(r=3\): \(q=\frac{18}{3}-1=5\), czyli \(a_1=5\).

Krok 5. Wzory ciągów.

\(a_n=5+(n-1)\cdot 3=3n+2\)

\(b_n=3\cdot 5^{\,n-1}\)

Sprawdzenie: \(S_8=8\cdot 5+28\cdot 3=124\) ✓; \(\;b_1+b_2=3+15=18\) ✓

Odpowiedź: \(a_n=3n+2\), \(b_n=3\cdot 5^{\,n-1}\)

Krok 1. Wzór redukcyjny.

\(\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

Krok 2. Uproszczenie równania.

\(3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\)

Krok 3. Rozwiązania ogólne.

\(x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{6}+2k\pi=\frac{13\pi}{12}+2k\pi\)

Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału \(\langle 0,2\pi\rangle\).

Dla \(k=0\) otrzymujemy \(x=\frac{5\pi}{12}\) oraz \(x=\frac{13\pi}{12}\); dla pozostałych \(k\) wartości wychodzą poza przedział.

Odpowiedź: \(x=\frac{5\pi}{12}\), \(x=\frac{13\pi}{12}\)

Krok 1. Postać odcinkowa prostej.

Niech prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \((p,0)\), a oś \(Oy\) w punkcie \((0,q)\), gdzie \(p\gt 0\) i \(q\gt 0\):

\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\)

Krok 2. Warunek na pole trójkąta.

\(\frac{1}{2}pq=36\Rightarrow pq=72\)

Krok 3. Warunek przechodzenia przez punkt \(P\).

\(\frac{8}{p}+\frac{2}{q}=1\)

Podstawiamy \(q=\frac{72}{p}\):

\(\frac{8}{p}+\frac{2p}{72}=1\)

\(\frac{8}{p}+\frac{p}{36}=1\)

Mnożymy przez \(36p\):

\(288+p^2=36p\)

\(p^2-36p+288=0\)

\(\Delta=1296-1152=144\), \(\;\sqrt{\Delta}=12\)

\(p=\frac{36-12}{2}=12\) lub \(p=\frac{36+12}{2}=24\)

Krok 4. Równania prostych.

Dla \(p=24\): \(q=3\), czyli \(\frac{x}{24}+\frac{y}{3}=1\), stąd \(y=-\frac{1}{8}x+3\).

Dla \(p=12\): \(q=6\), czyli \(\frac{x}{12}+\frac{y}{6}=1\), stąd \(y=-\frac{1}{2}x+6\).

Sprawdzenie: dla \(x=8\) pierwsza prosta daje \(y=-1+3=2\) ✓, druga \(y=-4+6=2\) ✓

Odpowiedź: \(y=-\frac{1}{8}x+3\) lub \(y=-\frac{1}{2}x+6\)

Oznaczmy \(f(x)=x^2-3mx+2m^2+1\); współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni.

Warunek I: dwa różne pierwiastki.

\(\Delta=9m^2-4\left(2m^2+1\right)=m^2-4\)

\(\Delta\gt 0\iff m^2\gt 4\iff m\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)

Warunek II: oba pierwiastki mniejsze od \(3\).

Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w górę, oba pierwiastki są mniejsze od \(3\) wtedy i tylko wtedy, gdy:

\(f(3)\gt 0\) oraz \(x_w\lt 3\)

Warunek \(f(3)\gt 0\):

\(9-9m+2m^2+1\gt 0\)

\(2m^2-9m+10\gt 0\)

\(\Delta_m=81-80=1\), pierwiastki \(m=2\) oraz \(m=\frac{5}{2}\)

\(m\in(-\infty,2)\cup\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\)

Warunek na wierzchołek:

\(x_w=\frac{3m}{2}\lt 3\Rightarrow m\lt 2\)

Część wspólna.

\(\left[(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\right]\cap\left[(-\infty,2)\cup\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\right]\cap(-\infty,2)=(-\infty,-2)\)

Odpowiedź: \(m\in(-\infty,-2)\)

Krok 1. Układ współrzędnych.

Przyjmijmy, że środek okręgu \(O=(0,0)\), a \(R=6\), zatem \(A=(-6,0)\), \(B=(6,0)\).

Punkt \(D=(x,y)\) leży na okręgu i \(|AD|=6\):

\(\begin{cases}x^2+y^2=36\\ (x+6)^2+y^2=36\end{cases}\)

Odejmując równania: \(12x+36=0\Rightarrow x=-3\), a stąd \(y=3\sqrt{3}\).

\(D=\left(-3,3\sqrt{3}\right)\), a z symetrii \(C=\left(3,3\sqrt{3}\right)\).

Krok 2. Punkt przecięcia przekątnych.

Z symetrii punkt \(P\) leży na osi \(Oy\). Prosta \(AC\) przechodzi przez \(A=(-6,0)\) i \(C=\left(3,3\sqrt{3}\right)\); jej równanie:

\(y=\frac{3\sqrt{3}-0}{3+6}(x+6)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+6)\)

Dla \(x=0\): \(y=2\sqrt{3}\), czyli \(P=\left(0,2\sqrt{3}\right)\).

Krok 3. Trójkąt \(ABP\).

\(|AB|=12\), wysokość z \(P\) na \(AB\) jest równa \(2\sqrt{3}\):

\(P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\)

\(|AP|=|BP|=\sqrt{6^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)

Krok 4. Promień okręgu wpisanego.

Korzystamy ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\cdot\text{obwód}\cdot r\):

\(12\sqrt{3}=\frac{12+4\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{2}\cdot r\)

\(12\sqrt{3}=\left(6+4\sqrt{3}\right)r\)

\(r=\frac{12\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}\)

Usuwamy niewymierność (mnożymy przez \(2\sqrt{3}-3\), bo \(\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-3\right)=3\)):

\(r=\frac{6\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-3\right)}{3}=2\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-3\right)=12-6\sqrt{3}\)

Krok 5. Pole koła.

\(P_{ko\dot{l}a}=\pi r^2=\pi\left(12-6\sqrt{3}\right)^2=\pi\left(144-144\sqrt{3}+108\right)\)

\(=\left(252-144\sqrt{3}\right)\pi\approx 2{,}58\pi\)

Odpowiedź: \(\left(252-144\sqrt{3}\right)\pi\)

Krok 1. Wymiary prostopadłościanu.

Niech krótsza z dwóch krawędzi o stosunku \(1:2\) ma długość \(x\), wtedy druga ma długość \(2x\). Trzecią oznaczmy \(c\).

Z warunku na objętość:

\(x\cdot 2x\cdot c=8\Rightarrow c=\frac{4}{x^2}\)

Krok 2. Pole powierzchni całkowitej.

\(P_c=2\left(x\cdot 2x+x\cdot c+2x\cdot c\right)=4x^2+6xc\)

\(P_c=4x^2+6x\cdot\frac{4}{x^2}=4x^2+\frac{24}{x}\)

Krok 3. Dziedzina.

Suma długości wszystkich krawędzi:

\(4(x+2x+c)=4\left(3x+\frac{4}{x^2}\right)\lt 28\)

\(3x+\frac{4}{x^2}\lt 7\)

Mnożymy przez \(x^2\gt 0\):

\(3x^3-7x^2+4\lt 0\)

Zauważamy, że \(x=1\) jest pierwiastkiem, a po podzieleniu:

\(3x^3-7x^2+4=(x-1)(3x+2)(x-2)\)

Dla \(x\gt 0\) czynnik \(3x+2\) jest dodatni, więc nierówność sprowadza się do \((x-1)(x-2)\lt 0\), czyli:

Dziedzina: \(x\in(1,2)\)

Krok 4. Najmniejsze pole.

\(P_c'(x)=8x-\frac{24}{x^2}=\frac{8x^3-24}{x^2}\)

\(P_c'(x)=0\iff x^3=3\iff x=\sqrt[3]{3}\approx 1{,}44\in(1,2)\) ✓

Dla \(x\in\left(1,\sqrt[3]{3}\right)\): \(P_c'(x)\lt 0\) — funkcja malejąca; dla \(x\in\left(\sqrt[3]{3},2\right)\): \(P_c'(x)\gt 0\) — rosnąca. Zatem w punkcie \(x=\sqrt[3]{3}\) funkcja osiąga wartość najmniejszą.

Krok 5. Wymiary.

\(x=\sqrt[3]{3}\), \(\;2x=2\sqrt[3]{3}\), \(\;c=\frac{4}{\left(\sqrt[3]{3}\right)^2}=\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}\)

Sprawdzenie objętości: \(\sqrt[3]{3}\cdot 2\sqrt[3]{3}\cdot\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}=\frac{8\cdot 3}{3}=8\) ✓

Najmniejsze pole wynosi \(P_c\left(\sqrt[3]{3}\right)=4\sqrt[3]{9}+\frac{24}{\sqrt[3]{3}}=12\sqrt[3]{9}\approx 24{,}96\).

Odpowiedź: \(P_c(x)=4x^2+\frac{24}{x}\) dla \(x\in(1,2)\); najmniejsze pole ma prostopadłościan o wymiarach \(\sqrt[3]{3}\), \(2\sqrt[3]{3}\), \(\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}\).