Krok 1. Wymiary prostopadłościanu.
Niech krótsza z dwóch krawędzi o stosunku \(1:2\) ma długość \(x\), wtedy druga ma długość \(2x\). Trzecią oznaczmy \(c\).
Z warunku na objętość:
\(x\cdot 2x\cdot c=8\Rightarrow c=\frac{4}{x^2}\)
Krok 2. Pole powierzchni całkowitej.
\(P_c=2\left(x\cdot 2x+x\cdot c+2x\cdot c\right)=4x^2+6xc\)
\(P_c=4x^2+6x\cdot\frac{4}{x^2}=4x^2+\frac{24}{x}\)
Krok 3. Dziedzina.
Suma długości wszystkich krawędzi:
\(4(x+2x+c)=4\left(3x+\frac{4}{x^2}\right)\lt 28\)
\(3x+\frac{4}{x^2}\lt 7\)
Mnożymy przez \(x^2\gt 0\):
\(3x^3-7x^2+4\lt 0\)
Zauważamy, że \(x=1\) jest pierwiastkiem, a po podzieleniu:
\(3x^3-7x^2+4=(x-1)(3x+2)(x-2)\)
Dla \(x\gt 0\) czynnik \(3x+2\) jest dodatni, więc nierówność sprowadza się do \((x-1)(x-2)\lt 0\), czyli:
Dziedzina: \(x\in(1,2)\)
Krok 4. Najmniejsze pole.
\(P_c'(x)=8x-\frac{24}{x^2}=\frac{8x^3-24}{x^2}\)
\(P_c'(x)=0\iff x^3=3\iff x=\sqrt[3]{3}\approx 1{,}44\in(1,2)\) ✓
Dla \(x\in\left(1,\sqrt[3]{3}\right)\): \(P_c'(x)\lt 0\) — funkcja malejąca; dla \(x\in\left(\sqrt[3]{3},2\right)\): \(P_c'(x)\gt 0\) — rosnąca. Zatem w punkcie \(x=\sqrt[3]{3}\) funkcja osiąga wartość najmniejszą.
Krok 5. Wymiary.
\(x=\sqrt[3]{3}\), \(\;2x=2\sqrt[3]{3}\), \(\;c=\frac{4}{\left(\sqrt[3]{3}\right)^2}=\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}\)
Sprawdzenie objętości: \(\sqrt[3]{3}\cdot 2\sqrt[3]{3}\cdot\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}=\frac{8\cdot 3}{3}=8\) ✓
Najmniejsze pole wynosi \(P_c\left(\sqrt[3]{3}\right)=4\sqrt[3]{9}+\frac{24}{\sqrt[3]{3}}=12\sqrt[3]{9}\approx 24{,}96\).
Odpowiedź: \(P_c(x)=4x^2+\frac{24}{x}\) dla \(x\in(1,2)\); najmniejsze pole ma prostopadłościan o wymiarach \(\sqrt[3]{3}\), \(2\sqrt[3]{3}\), \(\frac{4\sqrt[3]{3}}{3}\).