Zadanie 10 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2017 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(q=a_1\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego, a \(r=b_1\) — różnicą ciągu arytmetycznego.

Krok 2. Układ równań.

Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

\(S_8=\frac{2a_1+7r}{2}\cdot 8=8q+28r=124\), czyli \(2q+7r=31\)

Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego:

\(b_1+b_2=r+rq=r(1+q)=18\)

Krok 3. Rozwiązanie układu.

Z drugiego równania \(q=\frac{18}{r}-1\). Podstawiamy do pierwszego:

\(2\left(\frac{18}{r}-1\right)+7r=31\)

\(\frac{36}{r}+7r=33\)

\(7r^2-33r+36=0\)

\(\Delta=1089-1008=81\), \(\;\sqrt{\Delta}=9\)

\(r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\) lub \(r=\frac{33+9}{14}=3\)

Krok 4. Wybór rozwiązania.

Wyrazy ciągu \((a_n)\) mają być liczbami całkowitymi, więc różnica \(r\) musi być całkowita. Odrzucamy \(r=\frac{12}{7}\).

Dla \(r=3\): \(q=\frac{18}{3}-1=5\), czyli \(a_1=5\).

Krok 5. Wzory ciągów.

\(a_n=5+(n-1)\cdot 3=3n+2\)

\(b_n=3\cdot 5^{\,n-1}\)

Sprawdzenie: \(S_8=8\cdot 5+28\cdot 3=124\) ✓; \(\;b_1+b_2=3+15=18\) ✓

Odpowiedź: \(a_n=3n+2\), \(b_n=3\cdot 5^{\,n-1}\)