Równanie \(\dfrac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:

A dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=3\).
B dokładnie dwa rozwiązania: \(x=2, x=3\).
C dokładnie trzy rozwiązania: \(x=1, x=2, x=3\).
D dokładnie cztery rozwiązania: \(x=-3, x=1, x=2, x=3\).

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zera, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. W związku z tym, moglibyśmy zapisać, że: $$(1-x)(2-x)\neq0$$ Mamy postać iloczynową, zatem: $$1-x\neq0 \quad\lor\quad 2-x\neq0 \           ,\ x\neq1 \quad\lor\quad x\neq2$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Teraz możemy przejść do rozwiązywania równania. Najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia całości przez to, co jest w mianowniku ułamka, dzięki czemu otrzymamy: $$\frac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0 \quad\bigg/\cdot(1-x)(2-x) \           ,\ (2x-4)(2x-6)^2=0$$ Otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem chcąc je rozwiązać, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera: $$2x-4=0 \quad\lor\quad 2x-6=0 \           ,\ 2x=4 \quad\lor\quad 2x=6 \           ,\ x=2 \quad\lor\quad x=3$$ Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników. Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować ze względu na zapisane wcześniej założenia. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=2\) musimy odrzucić, ponieważ dla tej liczby wartość mianownika wychodziła równa \(0\). Stąd też to równanie będzie mieć jedynie jedno rozwiązanie i będzie nim \(x=3\).

Teoria:      
W trakcie opracowania