Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację układu równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\). Punkt przecięcia dwu prostych oraz ich punkty wspólne z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.





Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.



Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku powyżej, jest układ:



A. \(\begin{cases}

3(y+4)-6(x-3)=0 \           ,\

-4y-7(x-7)=0

\end{cases}\)



B. \(\begin{cases}

3(y+4)-6x=0 \           ,\

4y+2(x-7)=0

\end{cases}\)



C. \(\begin{cases}

3(y+4)-6x=0 \           ,\

4y-2(x-7)=0

\end{cases}\)



D. \(\begin{cases}

y=2x-4 \           ,\

y=\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}

\end{cases}\)



E. \(\begin{cases}

y=x-4 \           ,\

y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}

\end{cases}\)



F. \(\begin{cases}

y=2x-4 \           ,\

y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}

\end{cases}\)

Odpowiedź:      

B. oraz F.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wybór pierwszej poprawnej odpowiedzi. Celem zadania jest tak naprawdę ustalenie jakimi równaniami są opisane nasze proste. Najprościej będzie zacząć od ustalenia jaka jest postać kierunkowa tych prostych, czyli najpierw warto zerknąć na proponowane odpowiedzi D, E oraz F (bo właśnie tam wszystkie równania są zapisane w tej postaci, więc jest spore prawdopodobieństwo, że znajdziemy tam pierwszą poprawną odpowiedź). Możemy oczywiście wyznaczać takie równania w standardowy sposób, ale spróbujmy podejść do tego zadania nieco bardziej analitycznie, analizując podane odpowiedzi. Widzimy, że jedna prosta przecina oś \(Ox\) dla \(y=-4\), a druga dla \(y=3\frac{1}{2}\), więc współczynniki \(b\) tych prostych powinny być równe odpowiednio \(b=-4\) oraz \(b=3\frac{1}{2}\). Tak się składa, że w każdej parze mamy takie współczynniki, więc analizujemy dalej. Widzimy, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca, czyli jedna powinna mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga ujemny. W ten sposób spośród odpowiedzi D, E, F możemy już odrzucić odpowiedź D. Zostały nam już odpowiedzi E oraz F, które różnią się tylko pierwszym równaniem, które opisuje prostą rosnącą. Sprawdźmy zatem jaką wartość przyjmuje każde z równań dla \(x=2\). Prosta \(y=x-4\) przyjmuje wartość \(y=2-4=-2\), natomiast prosta \(y=2x-4\) przyjmie wartość \(y=2\cdot2-4=0\). Na wykresie widać, że ta wartość powinna być równa \(0\), bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\), stąd też po tej prostej analizie możemy stwierdzić, że pierwszą poprawną odpowiedzią będzie F. Dla upewnienia się, możemy oczywiście analogicznie sprawdzić to drugie równanie \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\), podstawiając np. \(x=7\). Wyjdzie nam, że \(y=-\frac{1}{2}\cdot7+3\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=0\) i to się zgadza, bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((7;0)\). Krok 2. Wybór drugiej poprawnej odpowiedzi. Druga odpowiedź będzie znajdować się wśród proponowanych A, B oraz C. Mówiąc bardzo obrazowo, musimy sprawdzić które równania da się przekształcić do postaci tych z odpowiedzi F. Tu warto zauważyć, że każdy układ ma różne drugie równania, więc możemy skupić się tylko na nich. Przekształćmy zatem te równania do postaci kierunkowej: Odp. A. (drugie równanie) $$-4y-7(x-7)=0 \           ,\ -4y-7x+49=0 \           ,\ -4y=7x-49 \           ,\ y=-\frac{7}{4}x+12\frac{1}{4}$$ To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\). Odp. B. (drugie równanie) $$4y+2(x-7)=0 \           ,\ 4y+2x-14=0 \           ,\ 4y=-2x+14=0 \           ,\ y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}$$ To równanie jest poprawne, bo otrzymaliśmy dokładnie to samo co w odpowiedzi F. Odp. C. (drugie równanie) $$4y-2(x-7)=0 \           ,\ 4y-2x+14=0 \           ,\ 4y=2x-14 \           ,\ y=\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}$$ To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\). I w ten oto sposób udało nam się ustalić, że poprawną odpowiedzią będzie także odpowiedź B.

Teoria:      
W trakcie opracowania