W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) zaznaczono środki krawędzi \(AB\), \(AC\) i \(AS\) odpowiednio punktami \(D, E, F\) (zobacz rysunek).





Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Pole powierzchni ostrosłupa \(ADEF\) jest dwukrotnie mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa \(ABCS\).
Objętość ostrosłupa \(ADEF\) jest ośmiokrotnie mniejsza od objętości ostrosłupa \(ABCS\).

Pole powierzchni ostrosłupa \(ADEF\) jest dwukrotnie mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa \(ABCS\).

Odpowiedź:      

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Dostrzeżenie brył podobnych i obliczenie skali podobieństwa. Ostrosłup \(ABCS\) jest prawidłowy, czyli w swojej podstawie ma on trójkąt równoboczny. Przyjmijmy, że krawędź podstawy będzie tutaj równa \(a\), natomiast wysokość jest równa \(h\). Teraz spójrzmy na mniejszy ostrosłup \(ADEF\). Z treści zadania wynika, że wszystkie jego wymiary będą dwukrotnie mniejsze od dużego ostrosłupa, czyli że tutaj krawędź podstawy jest równa \(\frac{1}{2}a\), a wysokość \(\frac{1}{2}h\). To prowadzi nas do wniosku, że te bryły są podobne. Jeżeli więc przyjmiemy, że duży ostrosłup jest bryłą podstawową, a mały ostrosłup bryłą podobną, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\). Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Skala podobieństwa \(k=\frac{1}{2}\) oznacza, że tak naprawdę każda krawędź małego ostrosłupa jest dwa razy mniejsza od krawędzi dużego ostrosłupa. Z własności figur podobnych wiemy, że w takim przypadku pole powierzchni figury podobnej będzie stanowić \(k^2\) figury podstawowej. Możemy więc zapisać, że: $$k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2 \           ,\ k^2=\frac{1}{4}$$ To oznacza, że pole powierzchni ostrosłupa \(ADEF\) będzie czterokrotnie mniejsze od pola powierzchni dużego ostrosłupa, więc zdanie jest fałszem. Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Jeżeli dwie figury są względem siebie podobne w skali \(k\) to objętość bryły podobnej stanowi \(k^3\) objętości bryły podstawowej. W związku z tym: $$k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \           ,\ k^3=\frac{1}{8}$$ To oznacza, że objętość ostrosłupa \(ADEF\) jest ośmiokrotnie mniejsza od objętości dużego ostrosłupa, więc zdanie jest prawdą.

Teoria:      
W trakcie opracowania