W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-8,12)\) i \(B=(−2,4)\) są końcami cięciwy okręgu \(O\). Środek tego okręgu leży na prostej \(k\) o równaniu \(y=4x+2\). Wyznacz współrzędne środka okręgu \(O\) i promień tego okręgu.

Odpowiedź:      

\(S=(3,14)\) oraz \(r=5\sqrt{5}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Sytuacja z treści zadania wygląda następująco: Powinniśmy dostrzec, że punkty \(A\), \(B\) oraz \(S\) tworzą trójkąt równoramienny, w którym ramiona mają długość promienia okręgu i właśnie to będzie kluczem do rozwiązania tego zadania. Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu. Odcinek \(AS\) ma taką samą długość jak odcinek \(BS\). Korzystając z tej informacji oraz ze wzoru na długość odcinka, moglibyśmy zapisać, że: $$|AS|=|BS| \           ,\ \sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2}$$ Punkt \(S\) leży na prostej o równaniu \(y=4x+2\), więc moglibyśmy zapisać, że \(x_{S}=x\) oraz \(y_{S}=4x+2\). Podstawiając teraz te dane oraz współrzędne \(A=(-8,12)\) i \(B=(−2,4)\), otrzymamy: $$\sqrt{(x-(-8))^2+(4x+2-12)^2}=\sqrt{(x-(-2))^2+(4x+2-4)^2} \           ,\ \sqrt{(x+8)^2+(4x-10)^2}=\sqrt{(x+2)^2+(4x-2)^2} \quad\bigg/^2 \           ,\ (x+8)^2+(4x-10)^2=(x+2)^2+(4x-2)^2 \           ,\ x^2+16x+64+16x^2-80x+100=x^2+4x+4+16x^2-16x+4 \           ,\ 17x^2-64x+164=17x^2-12x+8 \           ,\ -64x+164=-12x+8 \           ,\ -52x=-156 \           ,\ x=3$$ To oznacza, że współrzędna \(x\) punktu \(S\) jest równa \(3\). Podstawiając teraz wyznaczone \(x=3\) do równania \(y=4x+2\), wyznaczymy brakującą współrzędną \(y\), zatem: $$y=4\cdot3+2 \           ,\ y=12+2 \           ,\ y=14$$ To oznacza, że \(S=(3,14)\). Krok 3. Obliczenie długości promienia. Na koniec został nam jeszcze do policzenia promień tego okręgu. Jego długość będzie równa długości odcinka \(AS\), zatem podstawiając dane do wzoru na długość odcinka, otrzymamy: $$r=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \           ,\ r=\sqrt{(3-(-8))^2+(14-12)^2} \           ,\ r=\sqrt{11^2+2^2} \           ,\ r=\sqrt{121+4} \           ,\ r=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania