Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=-x^2+2x+3\). Funkcja liniowa \(g\) określona jest wzorem \(g(x)=-x+5\). Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji \(y=f(x)\) oraz funkcji \(y=g(x)\).

Odpowiedź:      

\((2;3)\) oraz \((1;4)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie układu równań. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne punktów przecięcia się wykresów, wystarczy rozwiązać następujący układ równań: \begin{cases} y=-x^2+2x+3 \           ,\ y=-x+5 \end{cases} Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy: $$-x^2+2x+3=-x+5 \           ,\ -x^2+3x-2=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=-2\) $$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=9-8=1 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-1}{2\cdot(-1)}=\frac{-4}{-2}=2 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+1}{2\cdot(-1)}=\frac{-2}{-2}=1$$ Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktów przecięcia się wykresów funkcji. Otrzymaliśmy dwie różne współrzędne \(x\) i jest to sytuacja jak najbardziej poprawna, ponieważ te dwa wykresy przetną się w dwóch miejscach. Obliczmy teraz współrzędne \(y\) dla każdego z punktów. W tym celu podstawmy np. do równania \(y=-x+5\) wyliczone współrzędne \(x\). Gdy \(x=2\), to: \(y=-2+5 \           ,\ y=3\) Gdy \(x=1\), to: \(y=-1+5 \           ,\ y=4\) To oznacza, że te wykresy przecinają się w punktach \((2;3)\) oraz \((1;4)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania