Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(2\) i wysokości \(8\). Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek).





Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Krawędź sześcianu jest dłuższa niż \(1,5\).
Ostrosłup jest czterokrotnie wyższy od sześcianu.
Objętość sześcianu jest większa od \(4\).

Krawędź sześcianu jest dłuższa niż \(1,5\).

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

3) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Zadanie jest bardzo trudne i trzeba tutaj wykonać dość skomplikowany rysunek pomocniczy. Całość zadania opierać się będzie na przekątnej podstawy. Ostrosłup ma krawędź podstawy o długości \(2\), więc zgodnie z własnościami kwadratów, przekątna podstawy będzie miała długość \(2\sqrt{2}\). Jeżeli więc krawędź sześcianu oznaczymy jako \(x\), to powstanie nam taka oto sytuacja: Odcinek \(FG\) to przekątna podstawy sześcianu o krawędzi \(x\), stąd też ma ona długość \(x\sqrt{2}\). Od razu możemy też zwrócić uwagę, że w takiej sytuacji \(|AE|=\sqrt{2}\) (bo jest to połowa długości przekątnej), natomiast \(|AD|=\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}\) (bo jest to odcinek \(AE\) pomniejszony o połowę długości przekątnej sześcianu). Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie długości krawędzi sześcianu. Powinniśmy zauważyć, że na rysunku powstały nam dwa trójkąty podobne, czyli \(ADF\) oraz \(AEC\). Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że: $$\frac{|AD|}{|DF|}=\frac{|AE|}{|CE|}$$ Podstawiając do tego równania dane z rysunku, otrzymamy: $$\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{x}{8}$$ Teraz najprościej będzie pomnożyć wszystko na krzyż, zatem: $$(\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2})\cdot8=\sqrt{2}\cdot x \           ,\ 8\sqrt{2}-4x\sqrt{2}=x\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2} \           ,\ 8-4x=x \           ,\ 8=5x \           ,\ x=1,6$$ Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Zgodnie z obliczeniami wyszło nam, że długość krawędzi sześcianu jest równa \(1,6\), zatem zdanie jest prawdą. Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Ostrosłup ma wysokość równą \(8\), a sześcian wysokość równą \(1,6\). Ostrosłup jest więc \(\frac{8}{1,6}=5\) razy wyższy od sześcianu, zatem zdanie jest fałszem. Krok 5. Ocena prawdziwości trzeciego zdania. Objętość sześcianu o boku \(a=1,6\) wynosi: $$V=a^3 \           ,\ V=(1,6)^3 \           ,\ V=4,096$$ Objętość jest więc faktycznie większa od \(4\), zatem zdanie jest prawdą.

Teoria:      
W trakcie opracowania